Dynamics of a nonlocal epidemic model with a new free boundary condition, part 1: Spreading-vanishing dichotomy

技术摘要：具有新型自由边界条件的非局部流行病模型动力学，第一部分

问题陈述
本文研究了一个描述病原体（密度为 $u$）与受感染人类（密度为 $v$）在二维流行病区域 $[g(t), h(t)]$ 内相互作用的非局部流行病模型的长期动力学。该区域随时间扩张或收缩，其中 $g(t)$ 和 $h(t)$ 代表自由边界。该系统整合了非局部扩散机制，其中两种物种的运动都由涉及核函数 $J_1$ 和 $J_2$ 的积分算子控制。

这项工作的核心创新在于提出了一种新型自由边界条件。不同于以往仅由物种向外通量（类似于 Stefan 条件）或仅由加权总人口决定的边界扩张率模型，本模型提出的条件是：扩张率 $h'(t)$（以及 $g'(t)$）与以下两者的线性组合成正比：

1. 病原体 $u$ 通过边界的向外通量（代表环境传播，例如通过水流）。
2. 区域内受感染个体 $v$ 的加权总人口（代表人类驱动的扩张）。

在数学上，自由边界条件由下式给出：
$$h'(t) = \mu \int_{g(t)}^{h(t)} \left[ u(t, x)W_{J_1}(h(t)-x) + \rho v(t, x)W(h(t)-x) \right] dx$$
$$g'(t) = -\mu \int_{g(t)}^{h(t)} \left[ u(t, x)W_{J_1}(h(t)-x) + \rho v(t, x)W(h(t)-x) \right] dx$$
其中 $W_{J_1}$ 是病原体核函数的尾部积分，$W$ 是一个独立于人类扩散核的权重函数。

研究方法
作者采用了一种结合了不动点理论、比较原理和谱分析的严谨解析框架：

1. 适定性（Well-posedness）： 使用压缩映射定理建立了具有全局解的存在性与唯一性。作者定义了一个关于边界函数 $(g, h)$ 的合适的完备度量空间，并构造了一个基于固定边界下反应扩散系统解的映射。
2. 比较原理： 开发了一系列比较引理，利用上、下解来限制解 $(u, v)$ 和边界 $(g, h)$。这些原理对于分析渐近行为和证明二分性结果至关重要。
3. 谱分析： 研究高度依赖于定义在有限区间上的相关非局部特征值问题的主特征值 $\lambda_p$。$\lambda_p$ 的符号决定了零平衡点的稳定性，并决定了疾病是扩散还是消亡。
4. 渐近分析： 通过区分两种情景来分析长期行为：
   • 消亡（Vanishing）： 边界收敛于一个有限区间，且密度趋于零。
   • 扩散（Spreading）： 边界扩张至整个实数轴，且密度在局部一致意义下收敛于唯一的正稳态。

主要贡献与结果

1. 全局存在性与唯一性（定理 1.1）： 本文证明，在初始数据和核函数满足标准正则性和正性条件下，所提出的具有新型混合自由边界条件的非局部系统对于所有 $t > 0$ 存在唯一的全局解。

2. 扩散-消亡二分性（定理 1.2）： 长期动力学呈现出鲜明的二分性。根据参数的不同，系统要么：

   • 消亡： 流行病区域保持有界（$g_\infty, h_\infty$ 为有限值），病原体和受感染人口密度一致趋于 $(0, 0)$。
   • 扩散： 流行病区域扩张至整个实数线（$g_\infty = -\infty, h_\infty = +\infty$），且密度在局部一致意义下收敛于唯一的正稳态 $(u^*, v^*)$。

3. 扩散与消亡的精确判据（定理 1.3）： 作者推导出了决定结果走向的精确条件：

   • 如果基本再生数 $R_0 < 1$，则始终发生消亡。
   • 如果 $R_0 \geq (1 + d_1/a)(1 + d_2/b)$，则始终发生扩散。
   • 在中间区域（$1 < R_0 < (1 + d_1/a)(1 + d_2/b)$）中，结果取决于初始定义域大小 $h_0$ 和扩张系数 $\mu$：
     • 如果 $h_0$ 足够大（$h_0 \geq L^*$），则发生扩散。
     • 如果 $h_0$ 较小，则存在一个依赖于初始数据的临界阈值 $\mu^*$，使得当 $\mu \leq \mu^*$ 时发生消亡，而当 $\mu > \mu^*$ 时发生扩散。
     • 类似地，对于固定的较小定义域，存在一个关于初始人口规模 $\sigma$ 的阈值。

4. 扩散率阈值（定理 1.4）： 本文确立了扩散率的精确阈值。通过将扩散系数缩放为 $(d_1, d_2) = s(d_1^0, d_2^0)$，作者确定了一个临界值 $d^*$，使得：

   • 如果 $s \leq d^*$（慢扩散），则始终发生扩散（假设 $R_0 > 1$）。
   • 如果 $s > d^*$（快扩散），则结果取决于扩张系数 $\mu$，表现出与初始数据情况类似的二分性。
   • 这一结果补充了 Nguyen 和 Vo [30] 的工作，解决了扩散率相等的情况，并为一般情况提供了阈值。

5. 临界情况 $R_0 = 1$： 本文表明，如果 $R_0 = 1$，通常会发生消亡（密度趋于零），尽管证明最终区间的有限性需要对权重函数 $W$ 或感染率函数 $G$ 施加额外条件。

意义与主张
本文声称为一类新的流行病模型提供了全面的理论基础，该类模型将非局部扩散与具有生物学动机的混合自由边界条件相结合。其意义在于：

• 统一性： 它弥合了纯粹由通量驱动的模型（Cao 等人 [4]）与纯粹由人口权重驱动的模型（Long 等人 [27]）之间的鸿沟，提供了一个更灵活的框架，用于模拟兼具环境传播和人类介导传播的疾病。
• 精确阈值： 针对初始定义域大小、扩张系数和扩散率推导出的精确阈值，为预测疾病结果提供了精确的标准，这对于防控策略至关重要。
• 数学严谨性： 该工作扩展了非局部自由边界问题的理论，特别是解决了在新的边界条件下，非局部扩散与混合边界驱动器之间相互作用下的适定性和渐近动力学问题，填补了现有文献中的空白。

本研究作为两部分系列论文中的第一部分，第二部分将致力于确定当发生扩散时的精确扩散速度和加速扩散速率。