Dynamics of a nonlocal epidemic model with a new free boundary condition, part 1: Spreading-vanishing dichotomy

Résumé Technique : Dynamique d'un modèle épidémique non local avec une nouvelle condition de frontière libre, Partie 1

Énoncé du Problème
Cet article étudie la dynamique à long terme d'un modèle épidémique non local décrivant l'interaction entre un agent pathogène (densité $u$) et des humains infectés (densité $v$) au sein d'une région épidémique unidimensionnelle $[g(t), h(t)]$. La région s'étend ou se contracte au fil du temps, où $g(t)$ et $h(t)$ représentent des frontières libres. Le système intègre des mécanismes de diffusion non locale, où le mouvement des deux espèces est régi par des opérateurs intégraux impliquant des fonctions de noyau $J_1$ et $J_2$.

L'innovation centrale de ce travail réside dans la formulation d'une nouvelle condition de frontière libre. Contrairement aux modèles précédents où le taux d'expansion de la frontière est déterminé uniquement par le flux sortant des espèces (analogue à la condition de Stefan), ou uniquement par la population totale pondérée, ce modèle propose une condition où le taux d'expansion $h'(t)$ (et $g'(t)$) est proportionnel à une combinaison linéaire de :

1. Le flux sortant de l'agent pathogène $u$ à travers la frontière (représentant la dispersion environnementale, par exemple via l'eau).
2. La population totale pondérée d'individus infectés $v$ au sein de la région (représantant l'expansion induite par l'humain).

Mathématiquement, les conditions de frontière libre sont données par :
$$h'(t) = \mu \int_{g(t)}^{h(t)} \left[ u(t, x)W_{J_1}(h(t)-x) + \rho v(t, x)W(h(t)-x) \right] dx$$
$$g'(t) = -\mu \int_{g(t)}^{h(t)} \left[ u(t, x)W_{J_1}(h(t)-x) + \rho v(t, x)W(h(t)-x) \right] dx$$
où $W_{J_1}$ est l'intégrale de queue du noyau de l'agent pathogène, et $W$ est une fonction de poids indépendante du noyau de dispersion pour les humains.

Méthodologie
Les auteurs emploient un cadre analytique rigoureux combinant la théorie des points fixes, les principes de comparaison et l'analyse spectrale :

1. Bien-poséité : L'existence et l'unicité des solutions globales sont établies en utilisant le théorème de la contraction. Les auteurs définissent un espace métrique complet approprié pour les fonctions de frontière $(g, h)$ et construisent une application basée sur la solution du système de réaction-diffusion associé avec des frontières fixes.
2. Principes de comparaison : Une série de lemmes de comparaison est développée pour borner la solution $(u, v)$ et les frontières $(g, h)$ en utilisant des solutions supérieures et inférieures. Ces principes sont cruciaux pour analyser le comportement asymptotique et prouver les résultats de dichotomie.
3. Analyse spectrale : L'étude repose largement sur la valeur propre principale $\lambda_p$ d'un problème de valeur propre non local associé sur un intervalle fini. Le signe de $\lambda_p$ détermine la stabilité de l'équilibre nul et dicte si la maladie se propage ou disparaît.
4. Analyse asymptotique : Le comportement à long terme est analysé en distinguant deux scénarios :
   • Disparition (Vanishing) : Les frontières convergent vers un intervalle fini, et les densités décroissent vers zéro.
   • Propagation (Spreading) : Les frontières s'étendent à l'infini, et les densités convergent vers un état stationnaire positif unique.

Contributions Clés et Résultats

1. Existence Globale et Unicité (Théorème 1.1) : L'article prouve que le système non local proposé avec la nouvelle condition de frontière libre mixte admet une solution globale unique pour tout $t > 0$, à condition que les données initiales et les fonctions de noyau satisfassent les conditions de régularité et de positivité standards.

2. Dichotomie Propagation-Disparition (Théorème 1.2) : La dynamique à long terme est caractérisée par une dichotomie nette. Selon les paramètres, le système soit :

   • Disparaît : La région épidémique reste bornée ($g_\infty, h_\infty$ sont finis), et les densités de l'agent pathogène et de la population infectée convergent uniformément vers $(0, 0)$.
   • Se propage : La région épidémique s'étend à toute la droite réelle ($g_\infty = -\infty, h_\infty = +\infty$), et les densités convergent localement uniformément vers un état stationnaire positif unique $(u^*, v^*)$.

3. Critères Précis pour la Propagation et la Disparition (Théorème 1.3) : Les auteurs dérivent des conditions précises déterminant quel résultat se produit :

   • Si le nombre de reproduction de base $R_0 < 1$, la disparition se produit toujours.
   • Si $R_0 \geq (1 + d_1/a)(1 + d_2/b)$, la propagation se produit toujours.
   • Dans le régime intermédiaire ($1 < R_0 < (1 + d_1/a)(1 + d_2/b)$), le résultat dépend de la taille initiale du domaine $h_0$ et du coefficient d'expansion $\mu$ :
     • Si $h_0$ est suffisamment grand ($h_0 \geq L^*$), la propagation se produit.
     • Si $h_0$ est petit, il existe un seuil critique $\mu^*$ (dépendant des données initiales), tel que la disparition se produit pour $\mu \leq \mu^*$ et la propagation pour $\mu > \mu^*$.
     • De même, pour des domaines initiaux de petite taille, il existe un seuil pour la magnitude de la population initiale $\sigma$.

4. Seuil de Taux de Diffusion (Théorème 1.4) : L'article établit un seuil précis pour le taux de diffusion. En mettant à l'échelle les coefficients de diffusion comme $(d_1, d_2) = s(d_1^0, d_2^0)$, les auteurs identifient une valeur critique $d^*$ telle que :

   • Si $s \leq d^*$ (diffusion lente), la propagation se produit toujours (en supposant $R_0 > 1$).
   • Si $s > d^*$ (diffusion rapide), le résultat dépend du coefficient d'expansion $\mu$, présentant une dichotomie similaire au cas des données initiales.
   • Ce résultat complète les travaux antérieurs de Nguyen et Vo [30] en résolvant le cas où les taux de diffusion sont égaux et en fournissant un seuil pour le cas général.

5. Cas Critique $R_0 = 1$ : L'article montre que si $R_0 = 1$, la disparition se produit généralement (les densités tendent vers zéro), bien que la preuve de la finitude de l'intervalle final nécessite des conditions supplémentaires sur la fonction de poids $W$ ou la fonction de taux d'infection $G$.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir un fondement théorique complet pour une nouvelle classe de modèles épidémiques qui intègrent la dispersion non locale avec une condition de frontière libre hybride, motivée biologiquement. La signification réside dans :

• Unification : Il comble le fossé entre les modèles pilotés purement par le flux (Cao et al. [4]) et ceux pilotés purement par le poids de la population (Long et al. [27]), offrant un cadre plus flexible pour modéliser des maladies comportant à la fois une transmission environnementale et humaine.
• Seuils Précis : La dérivation de seuils nets pour la taille initiale du domaine, le coefficient d'expansion et le taux de diffusion fournit des critères précis pour prédire les issues épidémiques, ce qui est vital pour les stratégies de contrôle.
• Rigueur Mathématique : Ce travail étend la théorie des problèmes de frontière libre non locaux, traitant spécifiquement de la bien-poséité et de la dynamique asymptotique sous les nouvelles conditions de frontière, comblant ainsi les lacunes de la littérature existante concernant l'interaction entre la diffusion non locale et les moteurs de frontière mixtes.

Ce travail est présenté comme la Partie 1 d'une série en deux parties, la Partie 2 étant dédiée à la détermination des vitesses de propagation précises et des taux de propagation accélérée lorsque la propagation se produit.