Future-blindness and the product topology

技术摘要：未来盲视与乘积拓扑

问题陈述
无限消费流的评估是社会选择理论和跨代福利研究中的核心问题。一个著名的不可能结果（Diamond [1965]）表明，在无限时界模型中，连续性、帕累托效率和跨代公平（匿名性）无法同时得到满足。虽然现有文献大多集中于如何在耐心与公平之间进行权衡，但本文研究了相反的行为极端情况：未来盲视（future-blindness）。这一概念描述了表现出极端缺乏耐心的主体，即使在提供巨额补偿的情况下，他们也会有效地忽略足够遥远的世代。本文旨在对有界序列空间（$l^\infty$）上的拓扑结构进行形式化刻画，以对应此类行为，特别是探讨连续性假设如何转化为时间贴现。

研究方法
作者在局部凸拓扑向量空间的框架内采用了拓扑学方法。他们分析了代表无限消费流的有界实值序列空间 $l^\infty$。其研究方法包括：

1. 定义行为概念： 引入两种不同的未来盲视概念：
   • $N$-盲视（$N$-blindness）： 主体忽略超过特定外生日期 $N$ 的所有时期。
   • 最终盲视（Eventual blindness）： 主体忽略除了有限个日期之外的所有日期，其中截断点是内生的，并可能取决于所比较的具体流，即使未来的流以增长的速度进行补偿也是如此。
2. 拓扑刻画： 识别出使所有连续偏好关系都满足上述行为定义的最细局部凸拓扑。这涉及分析生成半范数（seminorms）的性质以及“尾部”算子（$T_n$）的收敛性。
3. 对偶空间分析： 研究与这些拓扑相关的拓扑对偶空间（连续线性泛函空间），以确定此类设定下广义价格向量的结构。

主要贡献与结果

1. $N$-盲视的刻画：

   • 本文定义了 $N$-盲视拓扑（$\tau^b_N$）为使每个连续偏好均为 $N$-盲视的最细局部凸拓扑。
   • 结果： $\tau^b_N$ 由半范数族 $\{p_k : k = 0, \dots, N\}$ 生成，其中 $p_k(x) = |x_k|$。
   • 性质： 该拓扑不是豪斯多夫（Hausdorff）的。零集的闭包是直到第 $N$ 期均为零的序列子空间（$T_N$）。其对偶空间 $(l^\infty, \tau^b_N)'$ 同构于 $c^N_{00}$，即在所有 $n > N$ 时均为零的序列空间。

2. 最终盲视与乘积拓扑的刻画：

   • 本文定义了 最终盲视拓扑（$\tau^b$）为使每个连续偏好均为最终盲视的最细局部凸拓扑。
   • 主要定理（命题 4.3）： 最细的最终盲视局部凸拓扑恰好等于乘积拓扑（$\tau_p$）。
   • 行为解释： 关于乘积拓扑的连续性在行为上等价于最终盲视。这意味着，对于任何一对其中一个流严格优于另一个流的流，都存在一个有限时界，超过该时界后，向较差的流中添加任何序列形式的改进都不会改变其严格偏好。
   • 对偶空间： 对偶空间 $(l^\infty, \tau^b)'$ 同构于 $c_{00}$，即仅包含有限个非零元素的序列空间。

3. 与近视（Myopia）的比较：

   • 本文将这些结果置于关于近视（Brown and Lewis [1981]）的现有文献中进行讨论，其中最细的近视拓扑与 Mackey 拓扑（$\tau_{Mc}$）一致。
   • 作者建立了一个严格的层级关系：$\tau^b_N \subsetneq \tau^b = \tau_p \subsetneq \tau_{Mc} = \tau_m$。
   • 这意味着关于乘积拓扑连续的主体比关于 Mackey 拓扑连续的主体更“近视”（或至少同样近视）。

意义与主张
本文声称填补了关于乘积拓扑行为基础研究的重要空白。虽然乘积拓扑在一般均衡理论中被广泛使用（例如，通过 Tychonoff 定理确保预算集的紧致性以保证均衡的存在性），但它缺乏直接的行为解释。

• 行为基础： 作者提供了第一个明确的刻画，表明乘积拓扑的连续性对应于最终盲视。这为在无限维经济模型中使用乘积拓扑提供了行为上的辩护：它模拟了那些最终会忽视遥远世代（无论补偿多少）的主体。
• 对偶空间刻画： 本文澄清了这些设定下价格的性质，表明在最终盲视下，价格必须是具有有限支撑的序列（$c_{00}$），这与与 Mackey 拓扑（近视）相关的 $l^1$ 价格形成对比。

作者指出，其结果与 Brown and Lewis [1981] 的开创性工作平行，但将其分析扩展到了乘积拓扑的具体情况，而乘积拓扑与 Bewley [1972] 证明均衡存在性时使用的 Mackey 拓扑是不同的。文章总结道，这些拓扑结构为在无限时界经济模型中模拟极端形式的缺乏耐心和尾部不敏感性提供了严谨的框架。