Subgroups with all finite lifts isomorphic are conjugate

技术摘要：所有有限提升均同构的子群是共轭的

问题陈述
本文探讨了群论中的一个基本问题，即子群的同构性与其在群扩张下的行为之间的关系。具体而言，它研究了这样一个性质：若群 $G$ 的任意两个子群在 $G$ 的每一个有限扩张中都具有同构的原像（提升），这是否意味着这两个子群在 $G$ 内部是共轭的。

这一探究源于对$\mathbb{Z}$-陪集等价性的研究。两个子群 $G_1, G_2 \leq G$ 被称为 $\mathbb{Z}$-陪集等价，如果置换模 $\mathbb{Z}[G/G_1]$ 和 $\mathbb{Z}[G/G_2]$ 是同构的。虽然共轭子群显然是 $\mathbb{Z}$-陪集等价的，但反之通常不成立。Dipendra Prasad 提出的一个具体问题（问题 1.3）问道：如果 $G$ 是有限群，且 $G_1, G_2 \leq G$ 是 $\mathbb{Z}$-陪集等价的，那么 $G_1$ 和 $G_2$ 是否必然同构？

在此项工作之前，已知的非共轭 $\mathbb{Z}$-陪集等价对的例子极少（ notably L. Scott 在 $PSL(2, 29)$ 中发现的一对）。此类子群非同构的实例的存在性曾是一个未决问题。

方法论
作者采用构造性方法来生成能够区分非共轭子群的有限群扩张。其核心策略依赖于以下逻辑步骤：

1. 归结为 profinite 刚性：作者首先证明，如果两个子群具有非同构的 profinite 完备化，则存在一个有限商群，使得它们的原像在该商群中非同构（命题 3.1，推论 1.6）。
2. Cornulier 的构造：主定理的证明建立在 Y. Cornulier 的一个结果（定理 1.2）之上，该结果指出对于任意有限群 $G$，都存在一个有限群 $N$，使得 $G \cong \text{Out}(N)$。
3. 构造的细化：作者分析并细化了 Sambale 对 Cornulier 构造的阐述（定理 4.1）。他们构造了一个具有如下关键性质的特定有限群 $N$（定理 4.2）：
   • $G \cong \text{Out}(N)$。
   • 中心 $Z(N)$ 是平凡的。
   • $\text{Aut}(N)$ 中唯一同构于 $N$ 的子群是内自同构群 $\text{Inn}(N)$。
   • $N$ 是超可解群。
4. 扩张群：利用群 $N$，他们定义 $\tilde{G} = \text{Aut}(N)$。存在一个自然的满同态 $\phi: \tilde{G} \to G$，其核为 $N$。
5. 反证论证：作者证明，如果原像 $\phi^{-1}(G_1)$ 和 $\phi^{-1}(G_2)$ 是同构的，则可以构造一个 HNN 扩张，将 $\tilde{G}$ 嵌入到一个更大的群中，使得 $G_1$ 和 $G_2$ 在该群中变为共轭。通过利用 $N$ 的特定刚性性质（特别是 $N$ 是 $\tilde{G}$ 中其同构类型的唯一子群），他们证明了这种在扩张中的共轭性会迫使 $G_1$ 和 $G_2$ 在原始群 $G$ 中也是共轭的。

主要结果

• 定理 1.1（主要结果）：设 $G$ 为有限群。存在一个有限群 $\tilde{G}$ 和一个满同态 $\phi: \tilde{G} \to G$，使得对于 $G$ 中任意两个非共轭子群 $G_1, G_2$，其原像 $\phi^{-1}(G_1)$ 和 $\phi^{-1}(G_2)$ 不同构。此外，$\phi$ 的核可以选择为超可解群；如果 $G$ 是可解群，则 $\tilde{G}$ 也是可解群。
• 定理 1.4（对 Prasad 问题的回答）：本文对问题 1.3 给出了否定回答。通过将定理 1.1 应用于 $G = PSL(2, 29)$中已知的非共轭$\mathbb{Z}$-陪集等价对（其中$G_1, G_2 \cong A_5$），作者构造了一个有限群$\tilde{G}$，其中包含$\mathbb{Z}$-陪集等价但不同构的原像。
• 定理 1.7：作者展示了一个涉及群 $\Gamma$（四面体反射群中指数为 2 的子群）的具体应用。他们证明了 $\Gamma$ 有一个有限商群 $Q$ 映射到 $PSL(2, 29)$，使得非共轭$A_5$ 子群的原像不同构。这一点通过 Magma 计算得到验证，即显示这些原像具有不同数量的指数为 5 的子群。

意义与关联
本文声称在数学的多个领域具有重要意义：

1. 解决一个开放问题：它明确回答了 Prasad 的问题，表明 $\mathbb{Z}$-陪集等价性并不蕴含子群的同构性，即使这些子群是非共轭的。
2. Profinite 刚性：结果与 profinite 刚性这一主题相关联。本文指出，如果某些群（如映射类群或非算术格）的有限指数子群由其 profinite 完备化在同构意义下确定，那么这些群中的非共轭子群可以通过有限商群加以区分。
3. Anabelian 几何：这项工作与 Neukirch–Uchida 定理相关。作者指出，虽然该定理意味着绝对伽罗瓦群的非共轭子群是非同构的，但他们的结果提供了一个有限群类比，其中的群是有限群而非 profinite 群。
4. 在数论和几何中的应用：非同构 $\mathbb{Z}$-陪集等价对的存在性对以下方面具有影响：
   • 构造具有同构乘法群的非同构数域。
   • 产生具有同构雅可比簇（无极化）的非同构黎曼曲面。
   • 研究由此类对构造的空间的上同调。

主张的谦逊性
作者对其结果的适用范围保持了谦逊的态度。他们明确指出，虽然他们提供了一种通过有限提升来区分非共轭子群的方法，但所构造的特定有限群 $\tilde{G}$ 通常很大，且不一定是最小的。他们还指出，虽然他们的构造适用于所有有限群，但针对 $\mathbb{Z}$-陪集等价性的具体应用依赖于至少存在一个初始的非共轭对（这已经是已知的）。本文并未声称对所有此类对进行分类，而是确立了能够区分它们的扩张的存在性。