Subgroups with all finite lifts isomorphic are conjugate

Resumo Técnico: Subgrupos com Todos os Levantamentos Finitos Isomorfos São Conjugados

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma questão fundamental na teoria dos grupos relativa à relação entre o isomorfismo de subgrupos e seu comportamento sob extensões de grupos. Especificamente, investiga-se se a propriedade de ter pré-imagens (levantamentos) isomorfos em toda extensão finita de um grupo $G$ implica que os subgrupos são conjugados dentro de $G$.

Esta indagação é motivada pelo estudo da equivalência de $\mathbb{Z}$-classes laterais. Dois subgrupos $G_1, G_2 \leq G$ são equivalentes em $\mathbb{Z}$-classes laterais se os módulos de permutação $\mathbb{Z}[G/G_1]$ e $\mathbb{Z}[G/G_2]$ são isomorfos. Embora subgrupos conjugados sejam trivialmente equivalentes em $\mathbb{Z}$-classes laterais, a recíproca não é geralmente verdadeira. Uma questão específica levantada por Dipendra Prasad (Questão 1.3) pergunta: Se $G$ é um grupo finito e $G_1, G_2 \leq G$ são equivalentes em $\mathbb{Z}$-classes laterais, são $G_1$ e $G_2$ necessariamente isomorfos?

Antes deste trabalho, poucos exemplos de pares não conjugados equivalentes em $\mathbb{Z}$-classes laterais eram conhecidos (notavelmente um par em $PSL(2, 29)$ encontrado por L. Scott). A existência de tais pares onde os subgrupos são não isomorfos era um problema em aberto.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem construtiva para gerar extensões de grupos finitos que distinguem entre subgrupos não conjugados. A estratégia central baseia-se nos seguintes passos lógicos:

1. Redução à Rigidez Profinite: Os autores estabelecem primeiro que, se dois subgrupos têm completamentos profinitos não isomorfos, existe um quociente finito onde suas pré-imagens são não isomorfas (Proposição 3.1, Corolário 1.6).
2. Construção de Cornulier: A prova do teorema principal baseia-se em um resultado de Y. Cornulier (Teorema 1.2), que afirma que, para qualquer grupo finito $G$, existe um grupo finito $N$ tal que $G \cong \text{Out}(N)$.
3. Refinamento da Construção: Os autores analisam e refinam a exposição de Sambale da construção de Cornulier (Teorema 4.1). Eles constroem um grupo finito específico $N$ com as seguintes propriedades críticas (Teorema 4.2):
   • $G \cong \text{Out}(N)$.
   • O centro $Z(N)$ é trivial.
   • O único subgrupo de $\text{Aut}(N)$ isomorfo a $N$ é o grupo de automorfismos internos $\text{Inn}(N)$.
   • $N$ é supersolúvel.
4. O Grupo de Extensão: Usando o grupo $N$, eles definem $\tilde{G} = \text{Aut}(N)$. Existe um homomorfismo sobrejetor natural $\phi: \tilde{G} \to G$ com núcleo $N$.
5. Argumento por Contradição: Os autores provam que, se as pré-imagens $\phi^{-1}(G_1)$ e $\phi^{-1}(G_2)$ fossem isomorfas, poderia-se construir uma extensão HNN incorporando $\tilde{G}$ em um grupo maior onde $G_1$ e $G_2$ se tornam conjugados. Ao utilizar as propriedades específicas de rigidez de $N$ (especificamente que $N$ é o único subgrupo de seu tipo de isomorfismo em $\tilde{G}$), eles demonstram que essa conjugação na extensão força $G_1$ e $G_2$ a serem conjugados no grupo original $G$.

Resultados Chave

• Teorema 1.1 (Resultado Principal): Seja $G$ um grupo finito. Existe um grupo finito $\tilde{G}$ e um homomorfismo sobrejetor $\phi: \tilde{G} \to G$ tal que, para quaisquer dois subgrupos não conjugados $G_1, G_2 \leq G$, as pré-imagens $\phi^{-1}(G_1)$ e $\phi^{-1}(G_2)$ são não isomorfas. Além disso, o núcleo de $\phi$ pode ser escolhido para ser supersolúvel; se $G$ é solúvel, $\tilde{G}$ é solúvel.
• Teorema 1.4 (Resposta à Questão de Prasad): O artigo fornece uma resposta negativa à Questão 1.3. Ao aplicar o Teorema 1.1 ao par conhecido não conjugado e equivalente em $\mathbb{Z}$-classes laterais em $G = PSL(2, 29)$ (onde $G_1, G_2 \cong A_5$), os autores constroem um grupo finito $\tilde{G}$ contendo pré-imagens que são equivalentes em $\mathbb{Z}$-classes laterais, mas não isomorfas.
• Teorema 1.7: Os autores demonstram uma aplicação concreta envolvendo o grupo $\Gamma$ (um subgrupo de índice 2 em um grupo de reflexão de um tetraedro). Eles mostram que $\Gamma$ possui um quociente finito $Q$ mapeando para $PSL(2, 29)$ tal que as pré-imagens dos subgrupos não conjugados $A_5$ são não isomorfas. Isso é verificado computacionalmente usando o Magma, mostrando que as pré-imagens têm números diferentes de subgrupos de índice 5.

Significado e Conexões
O artigo reivindica significado em várias áreas da matemática:

1. Resolução de uma Questão Aberta: Responde definitivamente à questão de Prasad, mostrando que a equivalência em $\mathbb{Z}$-classes laterais não implica isomorfismo de subgrupos, mesmo quando os subgrupos são não conjugados.
2. Rigidez Profinite: Os resultados conectam-se ao tema da rigidez profinita. O artigo sugere que, se subgrupos de índice finito de certos grupos (como grupos de classes de mapeamento ou retículos não aritméticos) são determinados até isomorfismo por seus completamentos profinitos, então subgrupos não conjugados nesses grupos podem ser distinguidos por quocientes finitos.
3. Geometria Anabeliana: O trabalho relaciona-se ao teorema de Neukirch–Uchida. Os autores observam que, embora o teorema implique que subgrupos não conjugados de grupos de Galois absolutos são não isomorfos, seu resultado fornece um análogo de grupo finito onde os grupos são finitos em vez de profinitos.
4. Aplicações à Teoria dos Números e Geometria: A existência de pares não isomorfos equivalentes em $\mathbb{Z}$-classes laterais tem implicações para:
   • Construir corpos de números não isomorfos com grupos multiplicativos isomorfos.
   • Produzir superfícies de Riemann não isomorfas com jacobianas isomorfas (sem polarização).
   • Estudar a cohomologia de espaços construídos a partir de tais pares.

Modéstia das Reivindicações
Os autores mantêm um tom modesto quanto ao escopo de seus resultados. Eles afirmam explicitamente que, embora forneçam um método para distinguir subgrupos não conjugados por meio de levantamentos finitos, o grupo finito específico $\tilde{G}$ construído é frequentemente grande e não necessariamente mínimo. Eles também observam que, embora sua construção funcione para todos os grupos finitos, a aplicação específica à equivalência em $\mathbb{Z}$-classes laterais depende da existência de pelo menos um par inicial não conjugado (o que já era conhecido). O artigo não reivindica classificar todos os tais pares, mas sim estabelece a existência de extensões que os separam.