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Interaction Forces and Internal Loads in Parallel Manipulators with Actuation Redundancy

本文通过提供合成关节力矩向量的显式方法并通过案例研究对其进行验证，解决了现有文献中关于具有驱动冗余的并联机构相互作用力和内部载荷的歧义并纠正了疏漏。

原作者： Joshua Flight, Clément Gosselin

发布于 2026-05-01

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原作者： Joshua Flight, Clément Gosselin

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，四个人围着一张沉重的桌子将其抬起。如果每个人都在正确的方向上施加恰好足够的力，桌子就会平稳升起。但如果抬桌子的人数多于严格所需的人数呢？也许一张只需四人的桌子，却来了六个人。

这就是冗余并联机器人（具有多条协同工作的“腿”的机械臂）所处的世界。您询问的这篇论文解决了一个棘手的问题：我们该如何精确指示这些多余的人该用多大的力，才能让桌子平稳升起，而不会让所有人无意中互相挤压或将其扭曲？

以下是用简单类比对论文内容的拆解。

1. 两种类型的机器人：“抓握”与“腿”

作者首先指出了机器人领域的一个常见错误。科学家们多年来一直在研究如何控制抓握物体的机器人（就像拥有多根手指的手）。在这些“抓握”机器人中，数学计算很直接：只需将所有手指施加在物体上的力相加即可。

然而，并联机器人（如带有三条或四条腿的摄影机吊臂）的工作原理不同。它们的“腿”不仅仅是向物体“推”；它们通过关节和电机相互连接。末端感受到的力取决于关节的角度和“腿”的机械杠杆作用。

类比：

抓握机器人： 就像一群人抱着一个箱子。如果你想计算总力，只需将每个人推的力相加。
并联机器人： 就像一群人站在复杂的杠杆和滑轮系统上推一个箱子。如果你推动杠杆，箱子受到的力会根据杠杆的角度而变化。

论文指出，科学家们一直试图将“抓握”数学（简单的加法方法）应用于“并联”机器人。这就像试图用平坦城市的地图去导航山区。这会导致错误的结论。

2. 问题：“挤压”与“扭曲”

当你有多余的人（或多余的电机）时，你面临一个选择：是利用这些额外的力量抬起物体，还是浪费它们让人互相拉扯？论文指出了两种具体的错误方式：

交互力（“挤压”）： 想象桌子两侧有两个人互相向对方拉拽。桌子没有向上移动，但却被压碎了。这是一种“交互力”。这是浪费的能量，会对物体造成应力。
内部载荷（“扭曲”）： 这更为微妙。想象人们以某种方式拉拽，使得桌子想要旋转或在内部发生变形，即使桌子本身是刚性的。这是一种“内部载荷”。

错误所在：
先前的研究声称，如果你只是要求电机使用“尽可能少的能量”（一种称为“最小范数解”的数学技巧），你就会自动避免这些问题。

论文的发现：
作者说：“不，那是错的。”
由于并联机器人中复杂的杠杆和滑轮结构，对电机而言的“最少能量”并不等于对物体而言的“最少挤压”。

类比： 想象你正在推一辆车。如果你以一个奇怪的角度推，你可能会使用很少的肌肉能量（低扭矩），但最终却把车推到了路边的沟里（高内部应力）。论文表明，旧的数学混淆了“低电机努力”与“低物体应力”。

3. 解决方案：“度量张量”（正确的地图）

为了解决这个问题，作者创建了一种新的数学方法。他们意识到，要计算正确的力，必须考虑机器人“腿”的“形状”。

他们引入了一个称为度量张量的概念。

类比： 想象你在网格状的街道上行走。如果街道是完美的正方形（正交的），向北走 1 个街区再向东走 1 个街区很容易计算。但想象街道是倾斜的，像菱形图案。在倾斜的街道上向北走 1 个街区，实际上在现实世界中是斜向移动的。
旧的数学假设机器人的腿像完美的正方形网格。新的数学认识到腿像倾斜的菱形网格。“度量张量”是一个修正因子，它将电机的努力转化为物体上的实际力，并考虑了那些奇怪的角度。

通过使用这种新的“倾斜网格”数学，他们可以精确计算每个电机需要施加多少扭矩，才能在不压碎或扭曲物体的情况下抬起物体。

4. 证明：案例研究

为了证明他们的观点，作者选取了先前文献中的一个著名例子（一个三腿机器人）并重新计算了数据。

旧方法： 预测机器人正在平稳地抬起物体，没有挤压它。
新方法： 显示旧方法实际上导致机器人用力挤压物体。
视觉证明： 他们绘制了力的示意图。旧方法显示的力以会压碎物体的方式拉扯。他们的新方法显示的力完美和谐地拉扯，干净地抬起物体。

总结

这篇论文是对机器人学界的纠正。它指出：

不要复制粘贴数学： 你不能将适用于“抓握”机器人的简单数学直接用于“并联”机器人，因为它们的内部机械结构不同。
电机 $\neq$ 物体： 最小化电机的努力并不自动意味着最小化物体的应力。
新工具： 我们构建了一种新的数学工具（加权伪逆），它考虑了机器人的特定几何结构。这使我们能够控制冗余机器人，使它们高效地抬起物体，而不会意外地压碎或扭曲它们。

作者得出结论，使用他们的新方法对于设计更好、更安全、更高效的并联机器人至关重要。

以下是 Joshua Flight 和 Clément Gosselin 所著论文《具有驱动冗余的并联机构中的相互作用力与内部载荷》的详细技术总结。

1. 问题陈述

本文解决了驱动冗余并联机构控制与分析中的一个关键空白。虽然“相互作用力”（导致无运动“挤压”的力）和“内部载荷”（导致内部应力的力）的概念在“类抓取”系统（例如多指夹爪、足式机器人）中已确立，但将其应用于并联机构时存在缺陷。

核心问题： 现有文献往往盲目地将为抓取矩阵（其中 wrench 平衡由接触力聚合定义）开发的方法应用于并联机构。
缺陷： 并联机构通过雅可比矩阵将关节力矩映射为末端执行器 wrench，而非通过抓取矩阵。这种映射涉及两阶段传递：关节力矩 $\to$ 传递权重 $\to$ 施加 wrench。
后果： 先前的研究声称，关节力矩的最小范数解（使用标准 Moore-Penrose 伪逆）生成的 wrench 分布不含相互作用力。作者认为这在物理上是错误的，因为由于非正交基向量和传递权重的存在，最小化力矩向量 ( $\tau$ ) 的范数并不等同于最小化施加 wrench 向量 ( $f$ ) 的范数。这导致了不正确的力分布，仍会引发不必要的内部应力。

2. 方法论

作者提出了一个广义框架，通过显式建模力矩到 wrench 的传递，正确地将零空间 wrench 分析适配于并联机构。

A. 理论基础

概念区分：
- 相互作用力： 由 Kumar & Waldron 几何定义，指任意一对力之差与其作用点连线正交的力。这最小化了施加力的欧几里得范数 ( $\min \|f\|^2$ )。
- 内部载荷： 由 Udwadia-Kalaba 基于最小约束原理动力学定义。这些力产生的合力 wrench 不会相对于一个动力学等效的集总质量系统诱发内部应力。这最小化了一个加权范数 ( $\min h^T M^{-1} h$ )。
传递模型：
本文重新表述了并联机构的 wrench 平衡方程：
$h_o = J^T K^{-T} \tau$
其中 $J^T$ 定义了约束 wrench 的几何结构， $K^{-T}$ 代表传递权重。
为了分析末端执行器处的力，作者引入了一个基矩阵 $B$ ，使得施加 wrench 向量 $h$ 与力矩的关系为：
$h = B K^{-T} \tau$

B. 广义解（度量张量法）

作者证明，最小化力矩范数 $\|\tau\|^2$ 对于消除相互作用力是不正确的。相反，他们推导出了一个加权 Moore-Penrose 伪逆，用于最小化实际的 wrench 范数。

针对相互作用力（平衡力矩）：
优化问题被转换为目标为在力矩约束下最小化 wrench 范数。这引入了一个黎曼度量张量 $W_e$ ：
$W_e = K^{-1} B^T B K^{-T}$
平衡关节力矩向量 $\tau_e$ 的解为：
$\tau_e = (J^T K^{-T})^\dagger_{W_e} h_o$
其中加权伪逆考虑了执行器 wrench 方向的非正交性。
针对内部载荷（操作力矩）：
同样，为了消除内部载荷，利用系统的惯性矩阵 $M$ 导出了加权度量张量 $W_m$ ：
$W_m = K^{-1} B^T M^{-1} B K^{-T}$
操作关节力矩向量 $\tau_m$ 的解为：
$\tau_m = (J^T K^{-T})^\dagger_{W_m} h_o$

C. 静定约束

论文指出了一个物理限制：为了使并联机构生成一组不含相互作用力的有效力集，每条支腿必须是静定的（即拥有足够的执行器以独立控制力的方向和大小）。如果支腿驱动不足（例如单执行器的 RRR 支腿），则无法在任意方向生成力，使得针对某些 wrench 的“无相互作用”解在数学上成为不可能。

3. 主要贡献

文献错误识别： 本文严格指出，先前的方法（例如使用标准伪逆的缩放因子法）未能消除并联机构中的相互作用力，因为它们最小化的是力矩范数而非 wrench 范数。
统一框架： 它提供了一个广义数学框架，弥合了类抓取系统与并联机构之间的差距，同时保留了基于雅可比矩阵的 wrench 映射的独特性质。
显式综合方法： 作者推导出了合成关节力矩向量的显式公式，以保证：
- 零相互作用力： 通过使用具有度量 $W_e$ 的加权伪逆。
- 零内部载荷： 通过使用具有度量 $W_m$ 的加权伪逆。
术语澄清： 本文强化了“相互作用力”（几何）与“内部载荷”（动力学）之间的区别，指出它们在机器人学文献中常被混淆。

4. 结果（案例研究：3-RRR 平面机构）

作者使用具有 6 个执行器（每条支腿 2 个）的 3-RRR 平面并联机构验证了他们的方法。

比较： 他们比较了由以下方法生成的可行力多边形：
1. 标准最小范数力矩解（现有文献方法）。
2. 提出的加权伪逆解（新方法）。
验证：
- 对于特定的末端执行器 wrench，标准方法生成了一组违反零相互作用条件的力（力未正确对齐以避免挤压）。
- 提出的方法生成了一组满足零相互作用力几何条件（公式 2）的力。
内部载荷： 在第二个涉及非各向同性末端执行器的场景中，作者表明，平衡力分布（零相互作用）与操作 wrench 分布（零内部载荷）是截然不同的，需要不同的力矩向量。

5. 意义

纠正物理误解： 本文纠正了该领域的一个根本性误解：最小化关节努力并不一定能最小化并联机器人中的内部应力或相互作用力。
改进控制与设计： 所提出的方法允许更准确地估计机构的wrench 能力。这对以下方面至关重要：
- 奇异规避： 正确利用冗余以避免奇异构型。
- 负载均衡： 在驱动器之间均匀分布载荷，以防止过热或故障。
- 精密控制： 确保“挤压”力不会损坏被操作物体或机器人结构本身。
未来应用： 显式的力矩综合方法为实时控制算法和下一代冗余并联机器人的设计提供了基础。

总之，本文确立了并联机构中的 wrench 映射需要一种度量加权优化方法，而不是简单的关节力矩欧几里得范数最小化，以正确管理内部载荷和相互作用力。