Existence and multiplicity of solutions for a critical Grushin problem with a singular nonlinearity

技术摘要：带奇异非线性的临界 Grushin 问题的解的存在性与多重性

问题陈述
本文研究了在光滑有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（其中 $N=n+m$）上，涉及 Grushin 算子 $\Delta_\gamma$ 的边值问题正弱解的存在性与多重性。该算子定义为 $\Delta_\gamma := \Delta_x + (1+\gamma)^2|x|^{2\gamma}\Delta_y$，其中 $\gamma > 0$，在集合 $\Sigma = \{0\} \times \mathbb{R}^m$ 上表现出退化性。研究的主要方程为：
$$\begin{cases} -\Delta_\gamma u = \lambda u^p + u^{-\delta} & \text{in } \Omega, \\ u = 0 & \text{on } \partial\Omega, \end{cases}$$
其中 $\lambda > 0$，$\delta > 0$，且 $p > 1$。本研究涵盖了指数 $p$ 相对于临界 Sobolev 指数 $2^*_\gamma = \frac{2Q}{Q-2}$（其中 $Q = m + (1+\gamma)n$ 为齐次维数）的三种情形：次临界情形（$p < 2^*_\gamma - 1$）、临界情形（$p = 2^*_\gamma - 1$）和超临界情形（$p > 2^*_\gamma - 1$）。奇异项 $u^{-\delta}$ 的存在给正则性和可积性带来了显著挑战，特别是在 $\delta \geq 3$ 时，经典变分方法失效。

方法论
作者采用了基于非光滑分析和变分方法的框架，将 Hirano 等人 [23] 针对拉普拉斯算子发展的技术推广至 Grushin 情形。核心方法论步骤包括：

1. 非光滑泛函框架：由于奇异项 $u^{-\delta}$，相关的能量泛函不是 $C^1$ 的。作者利用 Fréchet 次微分 $\partial^- I$ 定义泛函，并采用Cerami 条件（一种弱于 Palais-Smale 条件的紧性条件）来处理缺乏光滑性以及极小化序列无界的问题。
2. 问题平移：为了处理奇异项，通过引入 $u_0$（纯奇异问题 $-\Delta_\gamma u_0 = u_0^{-\delta}$ 的唯一正解）对问题进行平移。原问题被重新表述为关于 $u = v - u_0$ 的形式，导出一个具有修正非线性项 $g(z, s)$ 的新方程，从而允许应用变分技术。
3. 上下解方法：利用广义的 Perron 型方法建立解的存在性。作者在由奇异解 $u_0$ 和辅助函数定义的顺序区间内构造了适当的下解和上解。
4. 强极大值原理与正则性：一个关键组成部分是通过对数估计推导 Grushin 算子的强极大值原理（引理 2.3）。这确保了解的正性。推导了均匀 $L^\infty$ 估计和正则性结果（引理 2.4，引理 5.11），以控制解在退化集 $\Sigma$ 附近的行为。
5. 通过连接定理证明多重性：为了证明第二个解的存在性，作者应用了针对非光滑泛函调整的连接定理（定理 2.1）。这涉及在函数空间中构造特定的几何结构，使得泛函相对于局部极小值点呈现出“山路”几何形态。
6. 爆破分析：在临界情形下，第二个解存在性的证明依赖于构造特定的测试函数序列（基于 Sobolev 不等式的极值函数），以表明第二个解的能量水平严格低于紧性丧失的阈值。

主要贡献与结果
本文确立了以下主要结果（定理 1.1）：

• 第一个解的存在性：对于所有 $\delta > 0$ 和 $p > 1$，存在一个阈值 $\Lambda > 0$，使得对于每一个 $\lambda \in (0, \Lambda]$，至少存在一个正弱解。

  • 在次临界和临界情形（$1 < p \leq 2^*_\gamma$）下，解属于 $C^{0,\alpha}_{loc}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$。
  • 在超临界情形（$p > 2^*_\gamma$）下，解属于 $L^{p+1}(\Omega)$（且当 $\lambda < \Lambda$ 时属于 $L^\infty$）。
  • 第一个解 $u_\lambda$ 是相关能量泛函的局部极小值点，并且关于 $\lambda$ 严格递增。

• 解的多重性：对于每一个 $\lambda \in (0, \Lambda)$，存在一个第二个正弱解，且不同于第一个解。

  • 在次临界和临界情形下，该第二个解也属于 $C^{0,\alpha}_{loc}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$。
  • 第二个解在 $\Omega$ 中严格大于第一个解（$w > u_\lambda$）。

• 不存在性：对于 $\lambda > \Lambda$，不存在正弱解（在适当的函数空间中）。

• 纯奇异问题的正则性与唯一性：本文证明了纯奇异问题 $-\Delta_\gamma u_0 = u_0^{-\delta}$ 的解 $u_0$ 的存在性与唯一性，并提供了涉及方程 $-\Delta_\gamma u_1 = 1$ 的解的显式界限。

意义与主张
本文主张将经典 Brezis-Nirenberg 理论（最初 formulated 为带有奇异扰动的拉普拉斯算子）推广至退化的 Grushin 算子。其主要意义在于：

1. 处理 $\delta$ 的全范围：与之前局限于 $\delta < 1$ 的工作不同，本研究利用非光滑分析工具涵盖了整个 $\delta > 0$ 范围，从而克服了与强奇异项相关的可积性问题。
2. 退化性管理：该工作解决了 Grushin 算子在 $\Sigma$ 上退化所带来的特定困难，建立了针对该几何结构的强极大值原理和正则性结果。
3. 统一方法：该方法提供了一个统一的框架，在同一奇异背景下处理次临界、临界和超临界指数，证明了即使在强奇异性和算子退化的存在下，多重性现象（两个解）依然持续存在。

作者将其工作定位为对现有拉普拉斯算子结果（引用 [23]、[2]、[4]）在 Grushin 情形下的严格推广，填补了关于退化椭圆算子临界奇异问题文献中的空白。