Existence and multiplicity of solutions for a critical Grushin problem with a singular nonlinearity

技術的概要：特異非線形項を伴う臨界グルシン問題における解の存在と多重性

問題の定式化
本論文は、滑らかな有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（$N=n+m$）上のグルシン作用素 $\Delta_\gamma$ を含む境界値問題に対する正の弱解の存在と多重性を調査する。作用素は $\Delta_\gamma := \Delta_x + (1+\gamma)^2|x|^{2\gamma}\Delta_y$（ただし $\gamma > 0$）と定義され、集合 $\Sigma = \{0\} \times \mathbb{R}^m$ 上で退化する。研究の主要な方程式は以下の通りである：
$$\begin{cases} -\Delta_\gamma u = \lambda u^p + u^{-\delta} & \text{in } \Omega, \\ u = 0 & \text{on } \partial\Omega, \end{cases}$$
ここで、$\lambda > 0$、$\delta > 0$、および $p > 1$ である。本研究は、臨界ソボレフ指数 $2^*_\gamma = \frac{2Q}{Q-2}$（ただし $Q = m + (1+\gamma)n$ は同次次元）に対する指数 $p$ の 3 つの領域を網羅する：臨界未満（$p < 2^*_\gamma - 1$）、臨界（$p = 2^*_\gamma - 1$）、および臨界超過（$p > 2^*_\gamma - 1$）。特異項 $u^{-\delta}$ の存在は、特に $\delta \geq 3$ の場合に古典的な変分法が機能しなくなるという、正則性と可積分性に関する重大な課題をもたらす。

手法
著者は、ラプラシアンに対して Hirano ら [23] によって開発された手法をグルシン設定へ拡張した、非滑らか解析および変分法に基づく枠組みを採用する。核心的な手法論的ステップは以下の通りである：

1. 非滑らか関数枠組み： 特異性 $u^{-\delta}$ により、対応するエネルギー汎関数は $C^1$ ではない。著者はフレシェ部分微分 $\partial^- I$ を用いて汎関数を定義し、最小化列の滑らかさおよび有界性の欠如を処理するために、パレ・スマル条件よりも弱いコンパクト性条件であるセラミ条件を利用する。
2. 問題の変換： 特異性を管理するため、純粋な特異問題 $-\Delta_\gamma u_0 = u_0^{-\delta}$ の一意な正解 $u_0$ を導入して問題を変換する。元の問題は $u = v - u_0$ という形で再定式化され、変分法の適用を可能にする修正された非線形項 $g(z, s)$ を含む新しい方程式へと帰着する。
3. 超解・下解法： 解の存在は、一般化されたペロン型手法を用いて確立される。著者は、特異解 $u_0$ と補助関数によって定義される順序区間内で、適切な下解と超解を構成する。
4. 強最大値原理と正則性： 重要な構成要素として、対数評価を通じてグルシン作用素に対する強最大値原理（補題 2.3）の導出がある。これにより解の正性が保証される。一様 $L^\infty$ 評価および正則性の結果（補題 2.4、補題 5.11）が導かれ、退化集合 $\Sigma$ 近傍での解の挙動が制御される。
5. リンキングによる多重性： 2 番目の解の存在を証明するために、非滑らか汎関数に適応されたリンキング定理（定理 2.1）が適用される。これには、汎関数が局所最小値に対して「マウンテンパス」幾何学を示すような、関数空間内の特定の幾何学的構造の構築が含まれる。
6. ブローアップ解析： 臨界の場合、2 番目の解の存在証明は、ソボレフ不等式の極値関数に基づいた特定の試験関数列を構成し、2 番目の解のエネルギーレベルがコンパクト性が失われる閾値より厳密に低いことを示すことに依存する。

主要な貢献と結果
本論文は、以下の主要な結果（定理 1.1）を確立する：

• 第一の解の存在： すべての $\delta > 0$ および $p > 1$ に対して、閾値 $\Lambda > 0$ が存在し、任意の $\lambda \in (0, \Lambda]$ に対して、少なくとも 1 つの正の弱解が存在する。

  • 臨界未満および臨界の場合（$1 < p \leq 2^*_\gamma$）、解は $C^{0,\alpha}_{loc}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ に属する。
  • 臨界超過の場合（$p > 2^*_\gamma$）、解は $L^{p+1}(\Omega)$ に属し（$\lambda < \Lambda$ の場合は $L^\infty$ にも属する）。
  • 第一の解 $u_\lambda$ は対応するエネルギー汎関数の局所最小値であり、$\lambda$ に関して厳密に単調増加である。

• 解の多重性： 任意の $\lambda \in (0, \Lambda)$ に対して、第一の解とは異なる第二の正の弱解が存在する。

  • 臨界未満および臨界の場合、この第二の解も $C^{0,\alpha}_{loc}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ に属する。
  • 第二の解は $\Omega$ において第一の解より厳密に大きい（$w > u_\lambda$）。

• 非存在： $\lambda > \Lambda$ の場合、適切な関数空間において正の弱解は存在しない。

• 純粋特異問題の正則性と一意性： 本論文は、純粋特異問題 $-\Delta_\gamma u_0 = u_0^{-\delta}$ の解 $u_0$ の存在と一意性を証明し、$-\Delta_\gamma u_1 = 1$ の解に関する明示的な評価を提供する。

意義と主張
本論文は、元々特異摂動を伴うラプラシアンに対して定式化された古典的なブリーズ・ニレンベルグ理論を、退化するグルシン作用素へ拡張するものである。その主な意義は以下の点にある：

1. $\delta$ の全範囲の扱い： 以前の研究が $\delta < 1$ に制限されていたのに対し、本解析は非滑らか解析の道具を利用することで $\delta > 0$ の全範囲を網羅し、強特異性に伴う可積分性の課題を克服する。
2. 退化の管理： この作業は、$\Sigma$ におけるグルシン作用素の退化がもたらす特有の困難に対処し、この幾何学に特化した強最大値原理および正則性の結果を確立する。
3. 統合されたアプローチ： 手法論は、同じ特異設定内で臨界未満、臨界、および臨界超過の指数を統一的に扱う枠組みを提供し、強特異性および作用素の退化が存在する場合でも多重性の現象（2 つの解）が維持されることを示す。

著者は、既存のラプラシアンに関する結果（[23]、[2]、[4] を引用）をグルシン設定へ厳密に拡張するものとして自らの研究を位置づけ、退化楕円作用素に対する臨界特異問題に関する文献のギャップを埋めている。