On weak solutions for the stationary Cahn-Hillard-Navier-Stokes equations with singular potential

技术摘要：含奇异势的稳态 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 方程的弱解

问题陈述
本文研究了描述三维可压缩两相流体混合物（具有弥散界面）的稳态 Navier–Stokes–Cahn–Hilliard 系统弱解的存在性。该系统由质量、动量和浓度的守恒定律控制，并与化学势方程耦合。该模型的一个显著特征是包含了 Flory–Huggins（对数型）奇异自由能密度。这一选择确保了质量分数 $c$ 保持在物理范围 $(-1, 1)$ 内，并允许真空态（$\rho = 0$）的存在。

具体的边值问题涉及一个有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$，其中速度满足 Dirichlet 条件，浓度和化学势满足 Neumann 条件。主要的数学挑战源于两个来源：

1. 稳态设定：与演化问题不同，稳态系统缺乏由时间演化驱动的先验能量不等式（$E(t) \leq E(0)$），而后者通常提供对奇异势和浓度场所需的控制。
2. 奇异势与真空：自由能中的对数奇异性阻碍了标准的泰勒展开正则化，且密度在真空态附近的潜在退化使得通过极限所需的紧性论证变得复杂。

方法论
作者通过对精心构造的近似系统应用两级极限过程来建立存在性。

1. 势能的特殊正则化：
   为了解决 $c$ 缺乏 $L^2$ 界以及标准泰勒展开失效的问题，作者针对奇异对数项引入了特殊的正则化 $f^\delta_2(c)$。与以往的方法不同，该近似被构造为使得差值 $f^\delta_2(c) - \frac{\theta_c}{2}c^2$ 仅在 $|c| \to \infty$ 时呈线性增长。这种特定的构造旨在抵消由反扩散项引起的二次增长，从而恢复必要的紧性并允许进行一致估计。

2. 两级近似方案：

   • 第一级（$\epsilon$-极限）：作者首先引入人工粘度和正则化参数（$\epsilon$）来构造一个正则化系统。利用不动点论证（Schauder 不动点定理），他们证明了该近似系统强解的存在性。导出了独立于 $\epsilon$ 的一致估计，使得可以取极限 $\epsilon \to 0$，从而得到具有正则化自由能的中间系统的弱解。
   • 第二级（$\delta$-极限）：第二步涉及去除势能的正则化（$\delta \to 0$）。这里的一个主要困难是控制密度的 $L^{3/2}$ 可积性。作者采用了特定的人工压力选择和巧妙的插值论证。该论证利用了正则化势能的结构，特别是观察到对于 $|c| > 1+\delta$，有 $\frac{\partial f^\delta_2}{\partial c} - \theta_c c = O(\ln \frac{1}{\delta})$。这使得他们能够闭合密度范数的估计并建立独立于 $\delta$ 的一致界。

3. 强收敛与物理界限：
   取极限 $\delta \to 0$ 需要证明密度的强收敛，以处理非单调压力项。作者借鉴稳态可压缩 Navier–Stokes 方程理论中的技术，建立了密度的强收敛。此外，他们证明了极限浓度 $c$ 在密度的支撑集（$\{\rho > 0\}$）上几乎处处满足严格的物理界限 $-1 < c < 1$，从而确保奇异项是良定义的。

主要结果
主要定理（定理 1.1）在以下条件下确立了稳态问题弱解 $(\rho, u, \mu, c)$ 的存在性：

• 区域：具有 $C^2$ 边界的有界单连通区域。
• 外力：外力 $g_1, g_2$ 有界。
• 绝热指数（$\gamma$）：
  • 若外力无旋（$\nabla \times g_1 = 0$），则 $\gamma > 3/2$。
  • 若外力有旋（$\nabla \times g_1 \neq 0$），则 $\gamma > 5/3$。
• 质量约束：总质量 $m_1 > 0$ 且相对质量 $m_2$ 满足 $m_2 \in (-m_1, m_1)$。

该解满足重整化连续性方程、动量和浓度方程的弱形式以及能量不等式。至关重要的是，浓度在 $\rho(x) > 0$ 处几乎处处满足 $-1 < c(x) < 1$。

意义与主张
作者声称，这项工作提供了首个存在性结果，针对同时包含以下要素的稳态可压缩 Navier–Stokes–Cahn–Hilliard 系统的弱解：

1. 奇异自由能势（Flory–Huggins 型），这对二元混合物在物理上是一致的，但由于缺乏浓度的全局界而在数学上具有挑战性。
2. 真空态（$\rho = 0$）的存在，这引入了方程的退化。

论文指出，虽然基于单流体稳态可压缩 Navier–Stokes 方程的结果，可接受的绝热指数 $\gamma$ 的范围可能可以扩展，但当前的范围受到由于自由能奇异性而在边界附近获得浓度加权估计的困难的限制。这项工作代表了在演化模型（其中能量不等式提供控制）与具有奇异势的稳态模型之间架起桥梁的重要一步。