On weak solutions for the stationary Cahn-Hillard-Navier-Stokes equations with singular potential

Résumé technique : Solutions faibles pour les équations de Cahn-Hilliard-Navier-Stokes stationnaires avec potentiel singulier

Énoncé du problème
Cet article étudie l'existence de solutions faibles pour le système stationnaire de Navier–Stokes–Cahn–Hilliard décrivant un mélange fluide diphasique, compressible et tridimensionnel avec une interface diffuse. Le système est régi par la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de la concentration, couplée à une équation de potentiel chimique. Une caractéristique distinctive du modèle est l'inclusion d'une densité d'énergie libre singulière de type Flory–Huggins (logarithmique). Ce choix garantit que la fraction massique $c$ reste dans l'intervalle physique $(-1, 1)$ et permet la présence d'états de vide ($\rho = 0$).

Le problème aux limites spécifique concerne un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ avec des conditions de Dirichlet pour la vitesse et des conditions de Neumann pour la concentration et le potentiel chimique. Les principaux défis mathématiques proviennent de deux sources :

1. Le cadre stationnaire : Contrairement aux problèmes évolutifs, le système stationnaire ne possède pas d'inégalité d'énergie a priori ($E(t) \leq E(0)$) pilotée par l'évolution temporelle, ce qui fournit généralement le contrôle nécessaire sur le potentiel singulier et le champ de concentration.
2. Potentiel singulier et vide : La singularité logarithmique dans l'énergie libre empêche les régularisations standard par développement de Taylor, et la dégénérescence potentielle de la densité près des états de vide complique les arguments de compacité requis pour le passage à la limite.

Méthodologie
Les auteurs établissent l'existence par un processus de limite à deux niveaux appliqué à un système approché soigneusement construit.

1. Régularisation spécialisée du potentiel :
   Pour pallier l'absence de bornes $L^2$ sur $c$ et l'échec des développements de Taylor standards, les auteurs introduisent une régularisation spécialisée $f^\delta_2(c)$ pour le terme logarithmique singulier. Contrairement aux approches précédentes, cette approximation est construite de telle sorte que la différence $f^\delta_2(c) - \frac{\theta_c}{2}c^2$ ne croisse que linéairement lorsque $|c| \to \infty$. Cette construction spécifique est conçue pour annuler la croissance quadratique induite par le terme anti-diffusif, restaurant ainsi la compacité nécessaire et permettant d'obtenir des estimations uniformes.

2. Schéma d'approximation à deux niveaux :

   • Niveau 1 (limite $\epsilon$) : Les auteurs introduisent d'abord une viscosité artificielle et des paramètres de régularisation ($\epsilon$) pour construire un système régularisé. En utilisant un argument de point fixe (théorème du point fixe de Schaefer), ils prouvent l'existence de solutions fortes pour ce système approché. Des estimations uniformes indépendantes de $\epsilon$ sont dérivées, permettant de passer à la limite $\epsilon \to 0$, aboutissant à une solution faible d'un système intermédiaire avec l'énergie libre régularisée.
   • Niveau 2 (limite $\delta$) : La deuxième étape consiste à supprimer la régularisation du potentiel ($\delta \to 0$). Une difficulté majeure ici réside dans le contrôle de l'intégrabilité $L^{3/2}$ de la densité. Les auteurs emploient un choix spécifique de pression artificielle et un argument d'interpolation délicat. Cet argument exploite la structure du potentiel régularisé, spécifiquement l'observation que $\frac{\partial f^\delta_2}{\partial c} - \theta_c c = O(\ln \frac{1}{\delta})$ pour $|c| > 1+\delta$. Cela leur permet de clore les estimations pour la norme de la densité et d'établir des bornes uniformes indépendantes de $\delta$.

3. Convergence forte et bornes physiques :
   Le passage à la limite $\delta \to 0$ nécessite de prouver la convergence forte de la densité pour traiter le terme de pression non monotone. En adaptant des techniques issues de la théorie des équations de Navier–Stokes compressibles stationnaires, les auteurs établissent la convergence forte de la densité. De plus, ils prouvent que la concentration limite $c$ satisfait les bornes physiques strictes $-1 < c < 1$ presque partout sur le support de la densité ($\{\rho > 0\}$), garantissant ainsi que le terme singulier est bien défini.

Résultats clés
Le théorème principal (Théorème 1.1) établit l'existence d'une solution faible $(\rho, u, \mu, c)$ au problème stationnaire sous les conditions suivantes :

• Domaine : Un domaine borné, simplement connexe, avec une frontière de classe $C^2$.
• Forces : Les forces externes $g_1, g_2$ sont bornées.
• Exposant adiabatique ($\gamma$) :
  • $\gamma > 3/2$ si la force externe est irrotationnelle ($\nabla \times g_1 = 0$).
  • $\gamma > 5/3$ si la force externe est rotationnelle ($\nabla \times g_1 \neq 0$).
• Contraintes de masse : La masse totale $m_1 > 0$ et la masse relative $m_2$ satisfont $m_2 \in (-m_1, m_1)$.

La solution satisfait l'équation de continuité renormalisée, la formulation faible des équations de la quantité de mouvement et de la concentration, ainsi que l'inégalité d'énergie. Crucialement, la concentration satisfait $-1 < c(x) < 1$ presque partout là où $\rho(x) > 0$.

Portée et affirmations
Les auteurs affirment que ce travail fournit le premier résultat d'existence pour des solutions faibles du système stationnaire de Navier–Stokes–Cahn–Hilliard compressible incorporant simultanément :

1. Un potentiel d'énergie libre singulier (de type Flory–Huggins), physiquement cohérent pour les mélanges binaires mais mathématiquement difficile en raison de l'absence de bornes globales sur la concentration.
2. La présence d'états de vide ($\rho = 0$), qui introduit une dégénérescence dans les équations.

L'article note que si la plage des exposants adiabatiques admissibles $\gamma$ pourrait être étendue sur la base des résultats pour les équations de Navier–Stokes compressibles stationnaires pour un fluide unique, la plage actuelle est limitée par la difficulté d'obtenir des estimations pondérées pour la concentration près de la frontière en raison de la singularité de l'énergie libre. Ce travail représente une étape significative dans le rapprochement entre les modèles évolutifs (où les inégalités d'énergie fournissent un contrôle) et les modèles stationnaires avec potentiels singuliers.