Optimal stability of complement value problems for p-Lévy operators

技术摘要：p-Lévy 算子补值问题的最优稳定性

问题陈述
本文研究了由对称 $p$-Lévy 算子控制的非局部积分微分方程（IDE）弱解在相互作用范围消失时的渐近行为。具体而言，本文研究了非局部补值问题 $(P_{\nu_\varepsilon, \tau})$ 的解随着参数 $\varepsilon \to 0$ 收敛到相应的局部 $p$-Laplace 边值问题 $(P_\tau)$ 解的情况。

非局部问题定义在开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 及其补集 $\Omega^c$ 上，由以下算子控制：
$$\mathcal{L}_\varepsilon u(x) = 2 \text{ p.v.} \int_{\mathbb{R}^d} |u(x) - u(y)|^{p-2}(u(x) - u(y)) \nu_\varepsilon(x-y) \, dy$$
并满足 $\Omega^c$ 上的非局部 Dirichlet（$\tau=0$）或 Neumann（$\tau=1$）补条件。核序列 $(\nu_\varepsilon)_\varepsilon$ 是逼近单位元的径向 $p$-Lévy 核族，满足特定的归一化条件（例如 $\int_{\mathbb{R}^d} (1 \wedge |h|^p)\nu_\varepsilon(h) dh = 1$）。目标是建立最优收敛，即在自然非局部能量空间 $W^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega)$ 和 $W^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega|\mathbb{R}^d)$ 中的强收敛，而不仅仅是在 $L^p(\Omega)$ 中的收敛。

方法论
分析依赖于变分法、非局部形式的渐近分析以及迹空间理论的结合。

1. 能量形式分析：作者分析了非局部双线性形式 $E_\varepsilon(\cdot, \cdot)$（及其变体 $E_\varepsilon^\Omega$、$E_\varepsilon^+$ 和跨边界形式 $E_\varepsilon^{cr}$）向局部 Dirichlet 形式 $E_0(u, v) = \int_\Omega |\nabla u|^{p-2}\nabla u \cdot \nabla v \, dx$ 的收敛性。关键步骤是建立这些形式的渐近半收敛（asymptotic demi-convergence），这刻画了即使函数序列依赖于 $\varepsilon$ 时解的收敛性。
2. 一致线性化：为了处理 $p$-Lévy 算子的非线性（当 $1 < p < \infty$ 时），本文采用了一致线性化估计（定理 2.4, 2.6），将形式的差与函数差的能量联系起来。这使得作者能够控制非线性项的收敛性。
3. 迹空间的鲁棒性：工作的很大一部分致力于证明非局部迹空间 $T^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega^c)$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时的鲁棒性。作者证明了这些空间在强意义下收敛到局部迹空间 $W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)$，包括提升算子的收敛性。这对于处理在 $\Omega^c$ 上给定数据的 Dirichlet 边界条件至关重要。
4. $\Gamma$-收敛与紧性：解的收敛性通过相关能量泛函 $J_\varepsilon$ 向局部泛函 $J$ 的 $\Gamma$-收敛来构建。由于定义域不匹配（非局部函数定义在 $\mathbb{R}^d$ 上，局部函数定义在 $\Omega$ 上），作者利用渐近紧性结果（定理 2.18）和一致 Poincaré 不等式，以确保收敛子序列的存在性及极限的识别。

主要贡献与结果

• 解的最优收敛：主要结果（第 5 节）表明，在数据（$f_\varepsilon, g_\varepsilon$）满足适当的渐近弱/强收敛假设下，弱解序列 $(u_\varepsilon)_\varepsilon$ 在最优非局部范数下强收敛到局部解 $u$：
  $$\lim_{\varepsilon \to 0} \|u_\varepsilon - u\|_{W^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega|\mathbb{R}^d)} = 0$$
  这意味着跨边界能量项的坍缩：$\lim_{\varepsilon \to 0} E_\varepsilon^{cr}(u_\varepsilon, u_\varepsilon) = 0$。
• 非局部迹空间的鲁棒性：本文证明了非局部迹空间 $T^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega^c)$ 收敛到局部迹空间 $W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)$。具体而言，如果边界数据序列在非局部迹范数下收敛，则范数的极限与局部迹范数一致（定理 3.5）。此外，存在鲁棒的右提升算子，它们强收敛到局部提升算子。
• 渐近半收敛：作者建立了能量形式 $E_\varepsilon$ 向 $E_0$ 的半收敛的广义形式（定理 2.16, 2.17）。该结果在域具有 mild 正则性假设（例如 $W^{1,p}$-延拓域）或其中一个函数在边界上消失时成立，扩展了以往关于形式收敛的结果。
• 分数阶 $p$-Laplacian 情形：一般理论被应用于分数阶 $p$-Laplacian $(-\Delta)^s_p$ 当 $s \to 1^-$ 的情形。本文表明，分数阶补值问题的解强收敛到局部 $p$-Laplace 解（第 6 节）。这一结果即使在分数阶 $p$-Laplacian 情形下也被认为是新的。
• 对偶空间收敛：非局部 Sobolev 空间的对偶空间被证明收敛到其局部对应空间（定理 3.9），从而保证了变分公式的稳定性。

意义与主张
本文声称提供了 $p$-Lévy 算子从非局部到局部极限的最优收敛结果。先前的工作（包括作者之前的研究 [24]）仅在放松假设下建立了 $L^p(\Omega)$ 中的强收敛。本文将结果加强到了能量范数，这是这些变分问题的自然拓扑。

作者强调，满足条件 (1.1) 的核序列 $(\nu_\varepsilon)_\varepsilon$ 的选择是“本质上最优的”，因为它内在于通过非局部差值刻画局部梯度范数（公式 1.3），这扩展了 Brezis、Bourgain 和 Mironescu 的开创性工作。

迹空间的鲁棒性被强调为该方法的至关重要组成部分，使得能够严格处理收敛到局部边界条件的非局部边界条件。本文明确指出，在一般情况下无法期望更强的收敛性，因为非局部解 $u_\varepsilon$ 属于 $W^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega)$，而极限 $u$ 属于 $W^{1,p}(\Omega)$，且范数是不同的。

结果统一了 Dirichlet 和 Neumann 补值问题的处理，并适用于全非局部算子和区域算子（其中相互作用限制在 $\Omega$ 内）。研究结果被呈现为对现有 $p=2$ 和分数阶情形文献的推广，为 $1 < p < \infty$ 提供了全面的框架。