Optimal stability of complement value problems for p-Lévy operators

Résumé technique : Stabilité optimale des problèmes de valeurs complémentaires pour les opérateurs p-Lévy

Énoncé du problème
Ce travail étudie le comportement asymptotique des solutions faibles d'équations intégro-différentielles non locales (IDE) régies par des opérateurs p-Lévy symétriques lorsque la portée de l'interaction non locale tend vers zéro. Plus précisément, l'article examine la convergence des solutions du problème de valeurs complémentaires non local $(P_{\nu_\varepsilon, \tau})$ vers les solutions du problème aux limites local correspondant de type p-Laplacien $(P_\tau)$ lorsque le paramètre $\varepsilon \to 0$.

Le problème non local est défini sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ avec son complémentaire $\Omega^c$, régi par l'opérateur :
$$\mathcal{L}_\varepsilon u(x) = 2 \text{ p.v.} \int_{\mathbb{R}^d} |u(x) - u(y)|^{p-2}(u(x) - u(y)) \nu_\varepsilon(x-y) \, dy$$
sous des conditions de complément de Dirichlet non local ($\tau=0$) ou de Neumann ($\tau=1$) sur $\Omega^c$. La suite de noyaux $(\nu_\varepsilon)_\varepsilon$ est une famille de noyaux p-Lévy radiaux approchant l'identité, satisfaisant des conditions de normalisation spécifiques (par exemple, $\int_{\mathbb{R}^d} (1 \wedge |h|^p)\nu_\varepsilon(h) dh = 1$). L'objectif est d'établir une convergence optimale, c'est-à-dire une convergence forte dans les espaces d'énergie non locaux naturels $W^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega)$ et $W^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega|\mathbb{R}^d)$, et non pas seulement dans $L^p(\Omega)$.

Méthodologie
L'analyse repose sur une combinaison de méthodes variationnelles, d'analyse asymptotique des formes non locales et de la théorie des espaces de traces.

1. Analyse de la forme d'énergie : Les auteurs analysent la convergence des formes bilinéaires non locales $E_\varepsilon(\cdot, \cdot)$ (et de leurs variantes $E_\varepsilon^\Omega$, $E_\varepsilon^+$, et de la forme transfrontalière $E_\varepsilon^{cr}$) vers la forme de Dirichlet locale $E_0(u, v) = \int_\Omega |\nabla u|^{p-2}\nabla u \cdot \nabla v \, dx$. Une étape cruciale consiste à établir la demi-convergence asymptotique de ces formes, ce qui caractérise la convergence des solutions même lorsque la suite de fonctions dépend de $\varepsilon$.
2. Linéarisation uniforme : Pour traiter la non-linéarité des opérateurs p-Lévy (pour $1 < p < \infty$), l'article utilise des estimations de linéarisation uniforme (Théorèmes 2.4, 2.6) qui relient la différence des formes à l'énergie de la différence des fonctions. Cela permet aux auteurs de contrôler la convergence des termes non linéaires.
3. Robustesse des espaces de traces : Une partie significative du travail est consacrée à prouver la robustesse des espaces de traces non locaux $T^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega^c)$ lorsque $\varepsilon \to 0$. Les auteurs démontrent que ces espaces convergent vers l'espace de traces local $W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)$ dans un sens fort, incluant la convergence des opérateurs de relèvement. Ceci est essentiel pour traiter les conditions aux limites de Dirichlet où les données sont prescrites sur $\Omega^c$.
4. Convergence $\Gamma$ et compacité : La convergence des solutions est encadrée par la convergence $\Gamma$ des fonctionnels d'énergie associés $J_\varepsilon$ vers le fonctionnel local $J$. En raison de la discordance des domaines (les fonctions non locales sont définies sur $\mathbb{R}^d$, les locales sur $\Omega$), les auteurs utilisent des résultats de compacité asymptotique (Théorème 2.18) et des inégalités de Poincaré uniformes pour assurer l'existence de sous-suites convergentes et l'identification de la limite.

Contributions et résultats clés

• Convergence optimale des solutions : Le résultat principal (Section 5) établit que, sous des hypothèses de convergence faible/forte asymptotique appropriées sur les données ($f_\varepsilon, g_\varepsilon$), la suite des solutions faibles $(u_\varepsilon)_\varepsilon$ converge fortement vers la solution locale $u$ dans les normes non locales optimales :
  $$\lim_{\varepsilon \to 0} \|u_\varepsilon - u\|_{W^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega|\mathbb{R}^d)} = 0$$
  Cela implique l'effondrement du terme d'énergie transfrontalière : $\lim_{\varepsilon \to 0} E_\varepsilon^{cr}(u_\varepsilon, u_\varepsilon) = 0$.
• Robustesse des espaces de traces non locaux : L'article prouve que les espaces de traces non locaux $T^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega^c)$ convergent vers l'espace de traces local $W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)$. Plus précisément, si une suite de données aux limites converge dans la norme de trace non locale, la limite des normes coïncide avec la norme de trace locale (Théorème 3.5). De plus, des opérateurs de relèvement à droite robustes existent et convergent fortement vers l'opérateur de relèvement local.
• Demi-convergence asymptotique : Les auteurs établissent une forme généralisée de demi-convergence pour les formes d'énergie $E_\varepsilon$ vers $E_0$ (Théorèmes 2.16, 2.17). Ce résultat vaut sous des hypothèses de régularité légères sur le domaine (par exemple, domaines d'extension $W^{1,p}$) ou lorsque l'une des fonctions s'annule sur la frontière, étendant ainsi les résultats précédents sur la convergence des formes.
• Cas du p-Laplacien fractionnaire : La théorie générale est appliquée au p-Laplacien fractionnaire $(-\Delta)^s_p$ lorsque $s \to 1^-$. L'article montre que les solutions des problèmes de valeurs complémentaires fractionnaires convergent fortement vers les solutions du p-Laplacien local (Section 6). Ce résultat est noté comme nouveau même pour le p-Laplacien fractionnaire.
• Convergence des espaces duaux : Les espaces duaux des espaces de Sobolev non locaux sont montrés comme convergeant vers leurs équivalents locaux (Théorème 3.9), assurant ainsi la stabilité des formulations variationnelles.

Portée et affirmations
L'article revendique fournir le résultat de convergence optimal pour les limites non local-vers-local des opérateurs p-Lévy. Des travaux antérieurs (y compris les recherches précédentes de l'auteur [24]) n'établissaient une convergence forte que dans $L^p(\Omega)$ sous des hypothèses assouplies. Ce travail renforce le résultat vers la norme d'énergie, qui est la topologie naturelle pour ces problèmes variationnels.

Les auteurs soulignent que le choix de la suite de noyaux $(\nu_\varepsilon)_\varepsilon$ satisfaisant la condition (1.1) est « essentiellement optimal » car il est intrinsèque à la caractérisation de la norme du gradient local via des différences non locales (Éq. 1.3), étendant ainsi un travail séminal de Brezis, Bourgain et Mironescu.

La robustesse des espaces de traces est mise en avant comme un composant crucial de l'approche, permettant un traitement rigoureux des conditions aux limites non locales qui convergent vers des conditions aux limites locales. L'article indique explicitement qu'aucune convergence plus forte ne peut être attendue en général, car les solutions non locales $u_\varepsilon$ appartiennent à $W^p_{\nu_\varepsilon}(\Omega)$ tandis que la limite $u$ appartient à $W^{1,p}(\Omega)$, et que les normes sont distinctes.

Les résultats unifient le traitement des problèmes de valeurs complémentaires de Dirichlet et de Neumann et s'appliquent à la fois à l'opérateur non local complet et aux opérateurs régionaux (où les interactions sont restreintes à $\Omega$). Les résultats sont présentés comme une généralisation de la littérature existante sur les cas $p=2$ et fractionnaires, fournissant un cadre complet pour $1 < p < \infty$.