Bilinear control to trajectories of 1D degenerate parabolic equations in moving domains

技术摘要：移动域中一维退化抛物方程轨迹的双线性控制

问题陈述
本文研究定义在随时间演化的有界域上的一维半线性退化抛物方程的局部可控性性质。所考虑的具体系统由通过反应项系数作用的双线性控制所支配。区域 $\Omega_t$ 定义为 $(0, \ell(t))$，其中边界 $\ell(t)$ 是时间的连续可微函数，从而形成了一个非柱状时空域 $\hat{Q}$。扩散系数 $a(x)$ 在边界 $x=0$ 处退化（例如，$a(x) = x^\alpha$，其中 $\alpha \in (0,1)$）。

主要目标是建立对正轨迹的局部精确可控性。具体而言，给定一个满足无控方程的正轨迹 $\tilde{u}$，作者旨在确定：对于充分接近轨迹初始状态的初始数据，是否存在一个支撑在任意小开集 $\hat{\omega} \times (0, T)$ 中的控制函数 $h$，使得受控状态 $u$ 在时间 $T$ 达到轨迹状态 $\tilde{u}$。

方法论
作者采用了一种结合几何变换、线性化和泛函分析的多步策略：

1. 域变换：为了处理移动边界，作者构造了一个微分同胚 $\tau_t$，将非柱状域 $\hat{Q}$ 映射到固定的柱状域 $Q = (0, 1) \times (0, T)$。该变换对空间变量进行重缩放，将原问题转化为固定域上具有时变系数和额外低阶项的抛物方程。
2. 线性化与伴随分析：非线性系统的可控性是通过在零状态附近（在平移目标轨迹后）对变换后的系统进行线性化来处理的。作者分析了相关的线性化系统，该系统包含一个退化扩散项和一个双线性控制项。
3. Carleman 估计：证明的关键部分是为线性化伴随系统推导全局 Carleman 估计。这些估计利用了依赖于时间和空间的特定权重函数，旨在处理 $x=0$ 处的退化以及域的时间依赖性。这些估计导出了一个可观测性不等式。
4. 线性系统的零可控性：利用可观测性不等式并采用适应加权空间的希尔伯特唯一性方法（HUM），作者证明了线性化系统的全局零可控性。他们确立了存在一个控制能在时间 $T$ 将解驱动至零，并给出了控制量和状态的具体正则性估计。
5. 逆函数定理：最后，作者在巴拿赫空间中应用了 Liusternik 逆函数定理。通过验证由非线性系统定义的映射是 $C^1$ 的，且其在原点的线性化是满射的（基于线性可控性结果），他们推导出了原非线性系统对正轨迹的局部精确可控性。

主要贡献与结果

• 主要定理：本文证明了非线性退化抛物方程组 (1) 在任意时间 $T > 0$ 对任意正轨迹 $\tilde{u}$ 是局部精确可控的，前提是初始数据在 $H^1_a$ 范数下充分接近轨迹的初始数据。
• 处理移动域：该工作将可控性结果从固定域扩展到了退化方程的非柱状移动域，这种设定由于时变几何和扩散系数的退化而引入了显著的复杂性。
• 双线性控制机制：本研究聚焦于作用于反应项的双线性控制（乘性控制），其调节与状态成比例的增长或衰减速率。这与加性控制不同，并在此背景下被证明对轨迹跟踪是有效的。
• 正则性估计：作者推导了线性化系统的控制量和状态的详细加权估计，确保控制量具有足够的正则性（具体在加权 $L^2$ 和 $H^1$ 空间中），以处理不动点论证中的非线性项。

意义与主张
作者将这项工作定位为对非标准几何中退化偏微分方程（PDE）控制理论的贡献。他们指出，虽然非退化方程和固定域退化方程的可控性已发展得相当成熟，但退化性、非线性和移动边界的结合提出了更复杂的挑战，需要特定的技术。

本文声称提供了关于此类移动域中退化系统双线性可控性的首个结果。其意义在于证明了该系统可以被引导至期望的正轨迹，这对应于在现实约束下（即扩散在边界处消失且域在演化）调节复杂动力系统（如相变或种群动力学中的系统）。作者明确指出，他们的结果是局部的（要求初始偏差较小），并依赖于 Liusternik 逆函数定理，这是建立无限维系统局部可控性的标准但严谨的方法。

文章最后建议将结果扩展到具有非局部非线性的系统和单相 Stefan 型问题，表明此处开发的技术可为这些更复杂的场景奠定基础。