Bilinear control to trajectories of 1D degenerate parabolic equations in moving domains

Résumé technique : Contrôle bilinéaire vers des trajectoires d'équations paraboliques dégénérées 1D dans des domaines mobiles

Énoncé du problème
Cet article examine les propriétés de contrôlabilité locale d'équations paraboliques dégénérées semilinéaires unidimensionnelles définies sur des domaines bornés évoluant dans le temps. Le système spécifique considéré est régi par un contrôle bilinéaire agissant via le coefficient du terme de réaction. Le domaine $\Omega_t$ est défini comme $(0, \ell(t))$, où la frontière $\ell(t)$ est une fonction continûment différentiable du temps, créant un domaine espace-temps non cylindrique $\hat{Q}$. Le coefficient de diffusion $a(x)$ dégénère à la frontière $x=0$ (par exemple, $a(x) = x^\alpha$ pour $\alpha \in (0,1)$).

L'objectif principal est d'établir la contrôlabilité exacte locale vers une trajectoire positive. Plus précisément, étant donnée une trajectoire positive $\tilde{u}$ satisfaisant l'équation non contrôlée, les auteurs cherchent à déterminer si, pour des données initiales suffisamment proches de l'état initial de la trajectoire, il existe une fonction de contrôle $h$ supportée dans un ouvert arbitrairement petit $\hat{\omega} \times (0, T)$ telle que l'état contrôlé $u$ atteigne l'état de la trajectoire $\tilde{u}$ au temps $T$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une stratégie multi-étapes combinant transformations géométriques, linéarisation et analyse fonctionnelle :

1. Transformation du domaine : Pour gérer la frontière mobile, les auteurs construisent un difféomorphisme $\tau_t$ qui applique le domaine non cylindrique $\hat{Q}$ sur un domaine cylindrique fixe $Q = (0, 1) \times (0, T)$. Cette transformation redimensionne la variable spatiale, convertissant le problème original en une équation parabolique à coefficients dépendant du temps et à termes d'ordre inférieur supplémentaires sur un domaine fixe.
2. Linéarisation et analyse adjointe : La contrôlabilité du système non linéaire est abordée via la linéarisation du système transformé autour de l'état nul (après décalage par la trajectoire cible). Les auteurs analysent le système linéarisé associé, qui inclut un terme de diffusion dégénéré et un terme de contrôle bilinéaire.
3. Estimations de Carleman : Un composant critique de la preuve est la dérivation d'estimations de Carleman globales pour le système adjoint linéarisé. Ces estimations utilisent des fonctions de poids spécifiques dépendant du temps et de l'espace, conçues pour gérer la dégénérescence en $x=0$ et la dépendance temporelle du domaine. Ces estimations conduisent à une inégalité d'observabilité.
4. Contrôlabilité à zéro du système linéaire : En utilisant l'inégalité d'observabilité et la méthode d'unicité hilbertienne (HUM) adaptée aux espaces pondérés, les auteurs prouvent la contrôlabilité à zéro globale du système linéarisé. Ils établissent l'existence d'un contrôle qui amène la solution à zéro au temps $T$, ainsi que des estimations de régularité spécifiques pour le contrôle et l'état.
5. Théorème de la fonction inverse : Enfin, les auteurs appliquent le théorème de la fonction inverse de Liusternik dans les espaces de Banach. En vérifiant que l'application définie par le système non linéaire est de classe $C^1$ et que sa linéarisation à l'origine est surjective (basée sur les résultats de contrôlabilité linéaire), ils déduisent la contrôlabilité exacte locale du système non linéaire original vers la trajectoire positive.

Contributions et résultats clés

• Théorème principal : L'article prouve que le système parabolique dégénéré non linéaire (1) est localement exactement contrôlable vers n'importe quelle trajectoire positive $\tilde{u}$ à tout temps $T > 0$, à condition que les données initiales soient suffisamment proches des données initiales de la trajectoire dans la norme $H^1_a$.
• Gestion des domaines mobiles : Ce travail étend les résultats de contrôlabilité des domaines fixes aux domaines mobiles non cylindriques pour les équations dégénérées, un cadre qui introduit une complexité significative due à la géométrie variant dans le temps et à la dégénérescence du coefficient de diffusion.
• Mécanisme de contrôle bilinéaire : L'étude se concentre sur les contrôles bilinéaires (contrôles multiplicatifs) agissant sur le terme de réaction, qui modulent les taux de croissance ou de décroissance proportionnellement à l'état. Cela se distingue des contrôles additifs et s'avère efficace pour le suivi de trajectoire dans ce contexte.
• Estimations de régularité : Les auteurs dérivent des estimations pondérées détaillées pour le contrôle et l'état du système linéarisé, garantissant que le contrôle possède une régularité suffisante (spécifiquement dans les espaces $L^2$ et $H^1$ pondérés) pour traiter les termes non linéaires dans l'argument de point fixe.

Portée et affirmations
Les auteurs positionnent ce travail comme une contribution à la théorie du contrôle des équations aux dérivées partielles (EDP) dégénérées dans des géométries non standard. Ils notent que, bien que la contrôlabilité pour les équations non dégénérées et les équations dégénérées sur des domaines fixes soit bien développée, la combinaison de la dégénérescence, de la non-linéarité et des frontières mobiles présente un défi plus complexe nécessitant des techniques spécifiques.

L'article prétend fournir les premiers résultats sur la contrôlabilité bilinéaire de tels systèmes dégénérés dans des domaines mobiles. La portée réside dans la démonstration que le système peut être dirigé vers une trajectoire positive désirée, ce qui correspond à la régulation de systèmes dynamiques complexes (tels que ceux des transitions de phase ou de la dynamique des populations) sous des contraintes réalistes où la diffusion s'annule aux frontières et où le domaine évolue. Les auteurs déclarent explicitement que leurs résultats sont locaux (nécessitant de petites déviations initiales) et reposent sur le théorème de la fonction inverse de Liusternik, une approche standard mais rigoureuse pour établir la contrôlabilité locale dans les systèmes de dimension infinie.

L'article conclut en suggérant des extensions potentielles vers des systèmes avec des non-linéarités non locales et des problèmes de type Stefan à une phase, indiquant que les techniques développées ici pourraient servir de fondation à ces scénarios plus complexes.