Can Euclidean lattice quantum field theory be analytically continued into Minkowski space?

技术摘要：欧几里得格点量子场论到闵可夫斯基空间的解析延拓

问题陈述
本文探讨了格点规范量子场论中的一个基本问题：欧几里得格点表述能否通过逆威克旋转直接解析延拓到闵可夫斯基空间（$R^{1,3}$）。虽然格点理论是研究强耦合系统（如 QCD）的主要非微扰工具，但一种广泛持有的观点认为，转移矩阵允许将欧几里得格点路径积分与闵可夫斯基空间中的量子力学描述联系起来。作者指出，这种观点忽视了一个关键障碍：时空本身的离散化将局域量子场论转化为具有形状因子的非局域理论，使得在首先取连续极限（$a \to 0$）之前，标准的威克旋转不可行。

方法论
作者对离散化过程进行了严格的数学分析，聚焦于二维欧几里得时空（$E_2$）中非相互作用的中性标量场这一最简单情形，以避免如费米子倍增等复杂问题。其方法论包括：

1. 离散化形式体系：他们利用连续技术表达格点作用量，其中积分被求和取代，微分被有限差分取代。具体而言，他们利用算符恒等式 $\phi(\tau + a) = \exp(a \frac{d}{d\tau})\phi(\tau)$ 来表示格点之间的位移。
2. 傅里叶分析：通过将离散化作用量变换到动量空间，他们证明了相互作用项获得了一个额外的因子 $\tilde{K}(p) \propto \exp(i\ell_\mu p^\mu)$，该因子充当非局域形状因子。这将格点理论识别为非局域形状因子场论（在 Meiman–Jaffe–Efimov 分类中）的一个具体实例。
3. 围道积分分析：作者试图通过在复平面中将积分轴旋转 $\pi/2$ 来执行逆威克旋转（$\omega \to -ip_0$）。他们分析了被积函数的行为，特别是复 $\omega$ 平面中无穷大半径圆弧上的项 $|e^{i\omega(\tau+a)}|$。
4. 收敛性测试：他们评估了第一和第四象限中连接弧上的积分是否为零，这是解析延拓有效性的必要条件。

主要贡献与结果
本文确立了取连续极限与执行威克旋转这两个操作是不可交换的。具体发现如下：

• 格点理论的非局域性：时空的离散化引入了一个形状因子，使理论变得非局域。在傅里叶变换中，这表现为紫外区域的指数增长因子。
• 威克旋转的失效：当分析复平面中无穷大半径圆弧上的积分时，作者发现对于某些条件（特别是当 $\tau < -|a|$ 时），积分发散。因此，连接欧几里得域与伪欧几里得域的弧上的积分不为零。
• 直接延拓的不可能性：由于弧积分不为零，对于保留格点间距 $a$ 的理论，通过逆威克旋转从 $E_2$ 到 $R^{1,1}$（进而从 $E_4$ 到 $R^{1,3}$）的解析延拓在数学上是不可能的。
• 连续极限的要求：作者得出结论，必须首先取极限 $a \to 0$ 以恢复局域性并消除非局域形状因子，然后才能执行到闵可夫斯基空间的有效解析延拓。

意义与主张
本文声称该结果具有两个主要推论：

1. 形式/数学意义：费曼泛函积分测度仅在欧几里得时空中被严格良好定义。如果直接解析延拓是可能的，它或许允许在原始闵可夫斯基表述中定义该测度。作者断言，由于直接延拓是不可能的，这种定义仍然不可行。
2. 概念意义：无法从 $E_4$ 解析延拓到 $R^{1,3}$ 意味着，在格点理论中识别对应于中间态类时动量（其特征为树图及半经典区域）的特定过程是“几乎不可能的”。因此，除非首先取连续极限，否则半经典区域的概念在格点框架内将不复存在。

作者强调，这一结果阐明了为何“构造性量子场论的策略”（在欧几里得空间中找到连续极限，验证公理，然后构建闵可夫斯基理论）是必要的，特别是在四维空间中，那里缺乏精确可解的模型。他们明确指出，他们的讨论表明，若不首先将格点理论推向连续极限，此类解析延拓是不可能的。