Hermitian hull-variation of vector rank-metric codes and self-orthogonal generalized Gabidulin codes

技术摘要：向量秩度量码的厄米核变体与自正交广义 Gabidulin 码

问题陈述
本文研究了配备厄米内积的向量秩度量码的“核变体问题”。线性码 $C$ 的核定义为 $H(C) = C \cap C^\perp$，它是一个基本子码，其维度决定了某些构造（如纠缠辅助量子纠错码 EAQECC）的可行性。虽然汉明度量下欧几里得码和厄米码的核变体问题已基本解决（表明码通常可被变换为具有任意指定核维度的等价码，直至原维度），但向量秩度量码的类似问题此前仍未解决。具体而言，本文探讨了是否每个向量秩度量码都等价于一个厄米 LCD（线性互补对偶）码（即具有平凡核的码），以及是否可构造具有任意指定厄米核维度的最大秩距离（MRD）码。

方法论与主要贡献

1. 厄米核变体定理：
   作者证明，对于 $\mathbb{F}_{q^{2m}}$ 上的向量秩度量码，在满足特定条件的情况下，其等价类中的厄米核维度可减一。

   • 一般情况（$n \ge 3$ 或 $q \ge 4$）： 证明采用涉及生成矩阵的构造性方法。通过识别核中的一个非零向量并应用特定的等价变换 $M \in GL_n(\mathbb{F}_q)$，作者表明矩阵 $GG^\dagger$ 的秩增加一，从而将核维度减少一。这依赖于引理 3.1，该引理展示了在特定条件下，向厄米矩阵添加秩一项 $\lambda aa^\dagger$ 如何降低其零度。
   • 小参数情况（$n=2$）： $n=2$ 的情况被单独处理。对于 $q \ge 4$，适用一般构造。对于 $q=3$，则利用 $\mathbb{F}_3$ 上的二次多项式进行特定论证，以找到消除核的变换。
   • 障碍： 本文识别出唯一的一个例外情况，即核变体不可能发生：$(q, n) = (2, 2)$。在此特定实例中，作者提供了一个反例，表明具有非平凡核的码无法被变换为等价的厄米 LCD 码。

2. 缩放迹自对偶基：
   为了解决具有指定核维度的 MRD 码的存在性问题，作者引入了缩放迹自对偶基的概念。

   • 先前的工作确立了 $\mathbb{F}_{q^{2m}}/\mathbb{F}_q$ 的普通迹自对偶基仅在 $q$ 为偶数时存在。这使得 $q$ 为奇数时构造厄米自正交 Gabidulin 码的情况悬而未决。
   • 作者定义了一对 $(\alpha, \lambda)$，其中 $\alpha$ 是一个基，$\lambda \in \mathbb{F}_{q^{2m}}^*$，使得 $\text{Tr}(\lambda \alpha_i \alpha_j) = \delta_{ij}$。
   • 他们证明了对于每一个素数幂 $q$ 和整数 $m$，这样的基都存在。证明涉及选择 $\lambda$，使其范数等于迹形式 Gram 矩阵行列式的逆，从而将双线性形式转化为标准正交形式。

3. 自正交 MRD 码的构造：
   利用缩放迹自对偶基，作者构造了厄米自正交的广义 Gabidulin 码。

   • 他们证明，对于任意 $1 \le k \le m$，由缩放迹自对偶基生成的广义 Gabidulin 码 $G_{k,s}(\alpha)$ 是厄米自正交的。
   • 这一构造解决了 $q$ 为奇数时的开放情况，使得能够针对所有素数幂构造厄米自对偶 MRD 码（其中 $k=m$）。

主要结果

• 核变体分类： 对于每一对 $(q, n) \neq (2, 2)$，任何具有厄米核维度 $h$ 的向量秩度量码都等价于一个具有核维度 $\ell$ 的码，其中 $0 \le \ell \le h$。因此，每个此类码都等价于一个厄米 LCD 码。
• 具有指定核的 MRD 码的存在性： 对于每一对 $(q, m) \neq (2, 1)$、每个维度 $1 \le k \le m$ 以及每个目标核维度 $0 \le \ell \le k$，在 $\mathbb{F}_{q^{2m}}^{2m}$ 中存在一个参数为 $[2m, k, 2m-k+1]_{q^{2m}/q}$ 且厄米核维度为 $\ell$ 的 MRD 码。
• 欧几里得比较： 本文将核变体结果扩展到向量秩度量码的欧几里得内积，完成了先前文献中遗留的未决情况。然而，文章指出一个显著差异：与厄米情形不同，偶特征下不存在欧几里得自正交 MRD 码。

意义
本文针对厄米内积下的向量秩度量码的核变体问题提供了全面的解决方案，并识别出 $(2, 2)$ 处的唯一障碍。通过引入缩放迹自对偶基，作者消除了此前阻碍构造厄米自正交 Gabidulin 码的 $q$ 的奇偶性限制。这统一了理论，确保对于所有素数幂，均可构造具有任意允许厄米核维度的 MRD 码。这些结果直接受纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）构造的驱动并适用于该领域，其中核维度决定了所需预共享纠缠对的数量。