Hermitian hull-variation of vector rank-metric codes and self-orthogonal generalized Gabidulin codes

技術的概要：エルミート内積を備えたベクトルランク計量符号のハル変種と自己直交一般化ガビディン符号

問題定義
本論文は、エルミート内積を備えたベクトルランク計量符号における「ハル変種問題」を調査する。線形符号 $C$ のハル $H(C) = C \cap C^\perp$ は、エンタングルメント支援型量子誤り訂正符号（EAQECC）などの特定の構成の可行性を決定づける基本的な部分符号である。ハミング計量におけるユークリッド符号およびエルミート符号のハル変種問題は概ね解決済み（符号を、元のハル次元までの任意に指定されたハル次元を持つ等価符号へ変換可能であることを示している）であるが、ベクトルランク計量符号における同様の問題は未解決のまま残っていた。具体的には、本論文は、すべてのベクトルランク計量符号がエルミート LCD（線形相補的双対）符号（すなわち、自明なハルを持つ符号）と等価であるかどうか、および最大ランク距離（MRD）符号を任意に指定されたエルミートハル次元で構成できるかどうかを扱っている。

手法と主要な貢献

1. エルミートハル変種定理:
   著者らは、$\mathbb{F}_{q^{2m}}$ 上のベクトルランク計量符号について、特定の条件が満たされれば、符号の等価類内でエルミートハル次元を 1 つ減少させられることを確立した。

   • 一般の場合 ($n \ge 3$ または $q \ge 4$): 証明は、生成行列を用いた構成的手法を利用する。ハル内の非ゼロベクトルを特定し、特定の等価変換 $M \in GL_n(\mathbb{F}_q)$ を適用することで、行列 $GG^\dagger$ のランクが 1 つ増加し、それによりハル次元が 1 つ減少することを示す。これは、特定の条件下でエルミート行列にランク 1 の項 $\lambda aa^\dagger$ を加えることがその核次元を減少させることを示す補題 3.1 に依存している。
   • 小パラメータ ($n=2$): $n=2$ の場合は個別に扱う。$q \ge 4$ の場合、一般の構成が適用される。$q=3$ の場合、$\mathbb{F}_3$ 上の二次多項式を用いた特定の論法により、ハルを排除する変換を見つける。
   • 障害: 本論文は、ハル変種が不可能な単一の例外ケース、すなわち $(q, n) = (2, 2)$ を特定している。この特定の事例において、著者らは、非自明なハルを持つ符号が等価なエルミート LCD 符号に変換できないことを示す反例を提供する。

2. スケーリングされたトレース自己双対基底:
   指定されたハル次元を持つ MRD 符号の存在に対処するため、著者らはスケーリングされたトレース自己双対基底の概念を導入する。

   • 先行研究では、$\mathbb{F}_{q^{2m}}/\mathbb{F}_q$ の通常のトレース自己双対基底は $q$ が偶数の場合のみ存在することが示されていた。これにより、奇数の $q$ におけるエルミート自己直交ガビディン符号の構成は未解決のまま残っていた。
   • 著者らは、$\alpha$ を基底とし $\lambda \in \mathbb{F}_{q^{2m}}^*$ である対 $(\alpha, \lambda)$ を定義し、$\text{Tr}(\lambda \alpha_i \alpha_j) = \delta_{ij}$ となるようにする。
   • 彼らは、そのような基底がすべての素数べき $q$ と整数 $m$ に対して存在することを証明する。証明には、トレース形式のグラム行列の行列式の逆数に等しいノルムを持つ $\lambda$ を選択し、双線形形式を標準的な正規直交形式に変換する手順が含まれる。

3. 自己直交 MRD 符号の構成:
   スケーリングされたトレース自己双対基底を用いて、著者らはエルミート自己直交である一般化ガビディン符号を構成する。

   • 任意の $1 \le k \le m$ に対して、スケーリングされたトレース自己双対基底によって生成される一般化ガビディン符号 $G_{k,s}(\alpha)$ がエルミート自己直交であることを示す。
   • この構成により、奇数の $q$ に関する未解決のケースが解消され、すべての素数べきに対してエルミート自己双対 MRD 符号（$k=m$ の場合）の作成が可能となる。

主要な結果

• ハル変種の分類: 各ペア $(q, n) \neq (2, 2)$ に対して、エルミートハル次元 $h$ を持つすべてのベクトルランク計量符号は、任意の $0 \le \ell \le h$ に対してハル次元 $\ell$ を持つ符号と等価である。したがって、そのようなすべての符号はエルミート LCD 符号と等価である。
• 指定されたハルを持つ MRD 符号の存在: 各 $(q, m) \neq (2, 1)$、各次元 $1 \le k \le m$、および各目標ハル次元 $0 \le \ell \le k$ に対して、パラメータ $[2m, k, 2m-k+1]_{q^{2m}/q}$ およびエルミートハル次元 $\ell$ を持つ MRD 符号が $\mathbb{F}_{q^{2m}}^{2m}$ 内に存在する。
• ユークリッド比較: 本論文は、ベクトルランク計量符号におけるハル変種の結果をユークリッド内積に拡張し、先行文献で未解決のまま残っていたケースを完了させる。ただし、重要な相違点に言及している。すなわち、エルミート設定とは異なり、偶数特性におけるユークリッド自己直交 MRD 符号は存在しないことである。

意義
本論文は、エルミート内積を備えたベクトルランク計量符号におけるハル変種問題に対する包括的な解決策を提供し、$(2, 2)$ における唯一の障害を特定する。スケーリングされたトレース自己双対基底を導入することにより、著者らは以前にエルミート自己直交ガビディン符号の構成を妨げていた $q$ の偶奇の制限を除去する。これにより理論が統合され、すべての素数べきに対して任意の許容されるエルミートハル次元を持つ MRD 符号を構成可能となる。これらの結果は、ハル次元が事前に共有されるエンタングルペアの数を決定する EAQECC の構成に直接動機づけられ、適用可能である。