技术摘要：超奇异同余图上的 $\mathbf{Z}_p$-塔之 Iwasawa $\lambda$-不变量的分布

问题陈述

本文研究了与双超奇异 $\ell$-同余图（DSIGs）上的常值 $\mathbf{Z}_p$-塔相关的 Iwasawa $\lambda$-不变量的分布。该研究位于图论、Iwasawa 理论与椭圆曲线算术的交叉领域。

研究的核心对象是定义在有限域 $\mathbf{F}_r$ 的代数闭包上的超奇异 $\ell$-同余图，记为 $SI(r, \ell)$（其中 $r$ 和 $\ell$ 为互异素数）。图的顶点代表超奇异椭圆曲线的同构类，边代表 $\ell$-同余。作者考虑了“双”版本 $X(r, \ell)$，这是一个无向图，通过将 $SI(r, \ell)$ 的有向边及其逆边视为不同的边而构造。

问题聚焦于与 $X(r, \ell)$ 上特定 $\mathbf{Z}_p$-塔（即兼容的 $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$-覆盖系统）相关的 Iwasawa $\lambda$-不变量 $\lambda_\ell$ 的行为。具体而言，作者固定素数 $r$（模曲线的层级）和素数 $p$（塔的特征），并让素数 $\ell$ 在无穷多个素数中变化。目标是确定当 $\ell$ 变化时，$\lambda_\ell$ 所取值值的统计分布。

方法论

1. 图论 Iwasawa 理论

作者利用了由 Gonet 和 Vallières 发展的 Iwasawa 理论的图论类比。对于图 $X$ 上的 $\mathbf{Z}_p$-塔，其复杂度 $\kappa(X_n)$（第 $n$ 层的生成树数量）满足如下渐近公式：
$$\text{ord}_p(\kappa(X_n)) = \mu p^n + \lambda n + \nu$$
对于充分大的 $n$ 成立。整数 $\mu$ 和 $\lambda$ 即为 Iwasawa 不变量。$\lambda$-不变量由塔的特征元素 $\Delta(T)$ 决定，该元素源于基础图的邻接矩阵以及定义该塔的电势赋值。

2. 同余图的特征性质

在超奇异同余图的邻接矩阵与模形式之间建立了一个关键联系。遵循 Eichler 的工作，邻接矩阵 $A(SI(r, \ell))$ 的特征值对应于层级为 $r$ 的权为 2 模形式的第 $\ell$ 个傅里叶系数。具体而言，谱由以下部分组成：

• 特征值 $\ell+1$，对应于 Eisenstein 级数 $\mathcal{E}_2$。
• 特征值 $a_\ell(f)$，其中 $f$ 遍历空间 $S_2(\Gamma_0(r))$ 中的新形式。

作者利用特定的电势赋值（在 $\mathbf{Z}_p$ 中将前向边映射为 $1$，后向边映射为$-1$）定义了$X(r, \ell)$上的“常值$\mathbf{Z}p$-塔”。他们推导出了该塔的特征元素$\Delta\ell(T)$ 的公式，表明其可分解为与邻接矩阵特征值相关的项。

3. 伽罗瓦表示与大像定理

为了分析当 $\ell$ 变化时 $\lambda_\ell$ 的分布，作者必须控制项 $\ell+1 - a_\ell(f)$ 的 $p$-进赋值。这需要理解傅里叶系数 $a_\ell(f)$ 模 $p$ 的分布。

本文采用了 Lei、Loeffler 和 Zerbes 建立的关于附着于新形式的伽罗瓦表示的“大像定理”。对于一组无复乘的新形式 $f_1, \dots, f_s$（作为伽罗瓦轨道的代表），其关联伽罗瓦表示（连同循环特征）的乘积的像对于除有限个素数 $p$ 外的所有素数都是“大”的（本质上是在相关环上的全线性群乘积）。

4. 切博塔廖夫密度定理

通过将特征元素的谱分解与大像定理相结合，作者构造了有限扩张 $K/\mathbf{Q}$ 的伽罗瓦群的一个特定子集。他们应用切博塔廖夫密度定理证明，弗罗贝尼乌斯元素 $\text{Frob}_\ell$ 以正密度落入特定的共轭类中。这些类对应于系数 $a_\ell(f)$ 的特定同余条件，进而决定了 $\lambda$-不变量的值。

主要贡献与结果

1. $\lambda_\ell$ 的显式公式

作者推导出了 $X(r, \ell)$ 上常值 $\mathbf{Z}_p$-塔的 Iwasawa $\lambda$-不变量的显式公式。假设 $r \equiv 1 \pmod{12}$ 且 $\ell \equiv 1 \pmod{p}$，他们证明了：
$$\lambda_\ell = 1 + 2 \sum_{k \in W} |O(k)|$$
其中 $W$ 是新形式轨道索引的一个子集，$|O(k)|$ 是第 $k$ 个轨道的大小（等于新形式 Hecke 域的度数）。项 $1$ 源于 Eisenstein 级数分量，因子 $2$ 源于双图的结构。

2. 分布定理（主定理 1.2 / 5.5）

主要结果表明，对于固定的素数 $r \equiv 1 \pmod{12}$ 以及除有限个奇素数外的所有奇素数 $p$，使得 $\lambda_\ell$ 取特定值的素数 $\ell$ 集合具有正的下密度。

具体而言，对于新形式轨道的任意子集 $W \subset \{1, \dots, s\}$，集合：
$$\mathcal{L}_W = \left\{ \ell : \ell \neq r, \ell \equiv 1 \pmod{p}, \lambda_\ell = 1 + 2 \sum_{k \in W} |O(k)| \right\}$$
具有正的下密度。这意味着形如 $1 + 2 \sum |O(k)|$ 的每一个可能值都由无穷多个素数 $\ell$ 实现。

3. 与新形式轨道的联系

本文证明了 Iwasawa $\lambda$-不变量的可能值严格由层级为 $r$ 的新形式的算术性质决定。新形式轨道的大小（Hecke 域的度数）直接决定了 $\lambda_\ell$ 的可能值。

4. 关于奇整数可实现性的猜想

基于 LMFDB（L-函数与模形式数据库）的计算数据，作者观察到对于各种 $r$，集合 $\{1 + 2 \sum_{k \in W} |O(k)|\}$ 覆盖了许多奇整数。他们提出了猜想 5.6：对于任意非负整数 $n$，存在一个素数 $r$ 和一个新形式轨道子集，使得 $n = \sum |O(k)|$。如果该猜想成立，则将意味着每一个奇整数都可以作为某个 DSIG 上常值 $\mathbf{Z}_p$-塔的 Iwasawa $\lambda$-不变量被实现。

意义与主张

本文声称揭示了四个不同领域之间的深刻联系：

1. 图论：特别是同余图的谱理论。
2. Iwasawa 理论：图塔中不变量的研究。
3. 椭圆曲线：超奇异曲线及其同余的算术。
4. 伽罗瓦表示：新形式傅里叶系数的分布。

作者强调，他们的工作提供了一种具体的机制（通过将对新形式的伽罗瓦表示应用切博塔廖夫密度定理），以预测图论背景下 Iwasawa 不变量的分布。他们指出，虽然先前的工作（例如 Lei 和 Müller）研究了同余图的 $\mathbf{Z}_p$-塔，但本文专门针对“常值”塔，并建立了一个精确的分布定理，将不变量与新形式的伽罗瓦轨道联系起来。

本文在范围上保持适度，将主定理限制在 $r \equiv 1 \pmod{12}$ 的情况，以确保邻接矩阵的对称性并排除某些超奇异 $j$-不变量（0 和 1728）。作者建议，扩展理论以消除这一假设是未来工作的自然方向，这将有可能使每一个奇数都能作为 $\lambda$-不变量被实现。

本文还承认 Munier 和 Shnidman 关于同余图雅可比簇的 $p$-西罗子群分布的相关工作，并指出阐明他们的结果与本文提出的 Iwasawa 理论观点之间的精确关系是一个有趣的未解决问题。