Resumen Técnico: Distribuciones de los invariantes $\lambda$ de Iwasawa de torres $\mathbf{Z}_p$ sobre grafos de isogenias supersingulares

Enunciado del Problema

Este artículo investiga la distribución de los invariantes $\lambda$ de Iwasawa asociados a torres $\mathbf{Z}_p$ constantes sobre grafos de isogenias $\ell$-supersingulares dobles (DSIGs). El estudio se sitúa en la intersección de la teoría de grafos, la teoría de Iwasawa y la aritmética de curvas elípticas.

El objeto central de estudio es el grafo de isogenias supersingulares $\ell$, denotado $SI(r, \ell)$, definido sobre la clausura algebraica de un cuerpo finito $\mathbf{F}_r$ (donde $r$ y $\ell$ son primos distintos). Los vértices representan clases de isomorfismo de curvas elípticas supersingulares, y las aristas representan isogenias $\ell$. Los autores consideran la versión "doble", $X(r, \ell)$, que es un grafo no dirigido construido tratando las aristas dirigidas de $SI(r, \ell)$ y sus inversas como aristas distintas.

El problema se centra en el comportamiento del invariante $\lambda$ de Iwasawa, $\lambda_\ell$, asociado a una torre $\mathbf{Z}_p$ específica (un sistema compatible de recubrimientos $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$) sobre $X(r, \ell)$. Específicamente, los autores fijan el primo $r$ (el nivel de la curva modular) y el primo $p$ (la característica de la torre), y dejan que el primo $\ell$ varíe sobre infinitos primos. El objetivo es determinar la distribución estadística de los valores tomados por $\lambda_\ell$ a medida que $\ell$ varía.

Metodología

1. Teoría de Iwasawa de Teoría de Grafos

Los autores utilizan el análogo de teoría de grafos de la teoría de Iwasawa desarrollado por Gonet y Vallières. Para una torre $\mathbf{Z}_p$ sobre un grafo $X$, la complejidad $\kappa(X_n)$ (el número de árboles generadores de la $n$-ésima capa) satisface una fórmula asintótica:
$$\text{ord}_p(\kappa(X_n)) = \mu p^n + \lambda n + \nu$$
para $n$ suficientemente grande. Los enteros $\mu$ y $\lambda$ son los invariantes de Iwasawa. El invariante $\lambda$ está determinado por el elemento característico $\Delta(T)$ de la torre, que se deriva de la matriz de adyacencia del grafo base y la asignación de voltaje que define la torre.

2. Propiedades Espectrales de los Grafos de Isogenias

Se establece un vínculo crucial entre la matriz de adyacencia del grafo de isogenias supersingulares y las formas modulares. Siguiendo a Eichler, los valores propios de la matriz de adyacencia $A(SI(r, \ell))$ corresponden a los coeficientes de Fourier $\ell$-ésimos de formas modulares de peso 2 y nivel $r$. Específicamente, el espectro consiste en:

• El valor propio $\ell+1$, correspondiente a la serie de Eisenstein $\mathcal{E}_2$.
• Los valores propios $a_\ell(f)$, donde $f$ recorre las nuevas formas en el espacio $S_2(\Gamma_0(r))$.

Los autores definen una "torre $\mathbf{Z}_p$ constante" sobre $X(r, \ell)$ utilizando una asignación de voltaje específica (mapeando las aristas hacia adelante a $1$ y las aristas hacia atrás a $-1$ en $\mathbf{Z}_p$). Derivan una fórmula para el elemento característico $\Delta_\ell(T)$ de esta torre, mostrando que se factoriza en términos relacionados con los valores propios de la matriz de adyacencia.

3. Representaciones de Galois y Teoremas de Imagen Grande

Para analizar la distribución de $\lambda_\ell$ a medida que $\ell$ varía, los autores deben controlar las valuaciones $p$-ádicas de los términos $\ell+1 - a_\ell(f)$. Esto requiere comprender la distribución de los coeficientes de Fourier $a_\ell(f)$ módulo $p$.

El artículo emplea el "Teorema de Imagen Grande" para representaciones de Galois asociadas a nuevas formas, establecido por Lei, Loeffler y Zerbes. Para un conjunto de nuevas formas $f_1, \dots, f_s$ (representantes de órbitas de Galois) sin multiplicación compleja, la imagen del producto de sus representaciones de Galois asociadas (junto con el carácter ciclotómico) es "grande" (esencialmente el producto completo de grupos lineales generales sobre los anillos relevantes) para todos menos un número finito de primos $p$.

4. Teorema de Densidad de Chebotarev

Al combinar la descomposición espectral del elemento característico con el Teorema de Imagen Grande, los autores construyen un subconjunto específico del grupo de Galois de una extensión finita $K/\mathbf{Q}$. Aplican el Teorema de Densidad de Chebotarev para mostrar que los elementos de Frobenius $\text{Frob}_\ell$ caen en clases de conjugación específicas con densidad positiva. Estas clases corresponden a condiciones de congruencia específicas sobre los coeficientes $a_\ell(f)$, que a su vez dictan el valor del invariante $\lambda$.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Fórmula Explícita para $\lambda_\ell$

Los autores derivan una fórmula explícita para el invariante $\lambda$ de Iwasawa de la torre $\mathbf{Z}_p$ constante sobre $X(r, \ell)$. Asumiendo $r \equiv 1 \pmod{12}$ y $\ell \equiv 1 \pmod{p}$, prueban:
$$\lambda_\ell = 1 + 2 \sum_{k \in W} |O(k)|$$
donde $W$ es un subconjunto de los índices de las órbitas de nuevas formas, y $|O(k)|$ es el tamaño de la $k$-ésima órbita (igual al grado del campo de Hecke de la nueva forma). El término $1$ surge del componente de la serie de Eisenstein, y el factor de $2$ surge de la estructura del grafo doble.

2. El Teorema de Distribución (Teorema Principal 1.2 / 5.5)

El resultado principal establece que para un primo fijo $r \equiv 1 \pmod{12}$ y para todos menos un número finito de primos impares $p$, el conjunto de primos $\ell$ para los cuales $\lambda_\ell$ toma un valor específico tiene densidad inferior positiva.

Específicamente, para cualquier subconjunto $W \subset \{1, \dots, s\}$ de las órbitas de nuevas formas, el conjunto:
$$\mathcal{L}_W = \left\{ \ell : \ell \neq r, \ell \equiv 1 \pmod{p}, \lambda_\ell = 1 + 2 \sum_{k \in W} |O(k)| \right\}$$
tiene una densidad inferior positiva. Esto implica que cada valor posible de la forma $1 + 2 \sum |O(k)|$ es realizado por infinitos primos $\ell$.

3. Conexión con Órbitas de Nuevas Formas

El artículo demuestra que los valores posibles del invariante $\lambda$ de Iwasawa están estrictamente determinados por la aritmética de las nuevas formas de nivel $r$. El tamaño de las órbitas de nuevas formas (grados de campos de Hecke) dicta directamente los valores posibles de $\lambda_\ell$.

4. Conjetura sobre la Realizabilidad de Enteros Impares

Basándose en datos computacionales de la LMFDB (Base de Datos de Funciones L y Formas Modulares), los autores observan que para varios $r$, el conjunto de valores $\{1 + 2 \sum_{k \in W} |O(k)|\}$ cubre muchos enteros impares. Proponen la Conjetura 5.6: Para cualquier entero no negativo $n$, existe un primo $r$ y un subconjunto de órbitas de nuevas formas tal que $n = \sum |O(k)|$. Si es cierta, esto implicaría que cada entero impar puede ser realizado como un invariante $\lambda$ de Iwasawa para alguna torre $\mathbf{Z}_p$ constante sobre un DSIG.

Significado y Afirmaciones

El artículo afirma revelar conexiones profundas entre cuatro áreas distintas:

1. Teoría de Grafos: Específicamente, la teoría espectral de grafos de isogenias.
2. Teoría de Iwasawa: El estudio de invariantes en torres de grafos.
3. Curvas Elípticas: La aritmética de curvas supersingulares y sus isogenias.
4. Representaciones de Galois: La distribución de coeficientes de Fourier de nuevas formas.

Los autores enfatizan que su trabajo proporciona un mecanismo concreto (a través del teorema de densidad de Chebotarev aplicado a representaciones de Galois de nuevas formas) para predecir la distribución de invariantes de Iwasawa en un contexto de teoría de grafos. Señalan que, aunque trabajos anteriores (por ejemplo, Lei y Müller) estudiaron torres $\mathbf{Z}_p$ de grafos de isogenias, este artículo aborda específicamente las torres "constantes" y establece un teorema de distribución preciso que vincula los invariantes con las órbitas de Galois de nuevas formas.

El artículo es modesto en su alcance, restringiendo el teorema principal al caso donde $r \equiv 1 \pmod{12}$ para asegurar la simetría de la matriz de adyacencia y la ausencia de ciertos invariantes $j$ supersingulares (0 y 1728). Los autores sugieren que extender la teoría para eliminar esta suposición es una dirección natural para trabajos futuros, lo que potencialmente permitiría la realización de cada número impar como un invariante $\lambda$.

El artículo también reconoce trabajos relacionados de Munier y Shnidman sobre la distribución de subgrupos $p$-Sylow de Jacobianas de grafos de isogenias, señalando que aclarar la relación precisa entre sus resultados y la perspectiva teórica de Iwasawa presentada aquí es un problema abierto interesante.