Qualitative stability for a family of trace Sobolev inequalities

技术摘要：一族迹索伯列夫不等式的定性稳定性

问题陈述
本文探讨半空间 $H = \{x \in \mathbb{R}^n : x \cdot e_1 > 0\}$ 上一族单参数迹索伯列夫不等式的定性稳定性，其中 $n \ge 2$ 且 $p \in (1, n)$。这些不等式由 Maggi 和 Neumayer [MN17] 建立，将函数 $u$ 梯度的 $L^p$ 范数与其在内部的 $L^{p^*}$ 范数及在边界 $\partial H$ 上的 $L^{p^\sharp}$ 范数联系起来。具体而言，对于固定的迹参数 $T \ge 0$，最佳常数 $\Phi_H(T)$ 通过变分问题定义：
$$\Phi_H(T) = \inf \{ \|\nabla u\|_{L^p(H)} : u \in \mathcal{A}_T \},$$
其中 $\mathcal{A}_T = \{ u \in \dot{W}^{1,p}(H) : \|u\|_{L^{p^*}(H)} = 1, \|u\|_{L^{p^\sharp}(\partial H)} = T \}$。
该问题的极值元（极小化子）被完全刻画为显式剖面 $U_T$ 的特定伸缩和平移。核心问题是稳定性：如果序列 $\{u_k\} \subset \mathcal{A}_T$ 的能量亏量 $\delta_T(u_k) = \|\nabla u_k\|_{L^p}^p - \Phi_H(T)^p$ 趋于零，该序列是否在梯度范数意义下收敛到极值元集合 $\mathcal{M}_T$？

虽然 Fan、Li 和 Zhang [FLZ26] 最近针对 $p=2$ 的情形建立了局部定量稳定性，但全局定性稳定性结果（即证明亏量消失意味着到极值元的距离消失）此前尚属空白。这一缺失阻碍了将局部定量结果推广至全局。

方法论
定性稳定性的证明依赖于集中紧性原理，并结合了能量泛函的一个新颖的严格结合不等式。

1. 集中紧性分析：作者将标准的集中紧性引理（Lions [Lio85]） adapted 到迹的情形。证明采用反证法：假设亏量趋于零的序列不收敛到极值元，则该序列要么消失（由归一化条件排除），要么分裂（二分性）为两个渐近互不作用的剖面。
2. 严格结合不等式（定理 1.3）：论证的核心在于排除“分裂”情形。作者证明，对于任何将质量和迹范数分解为两部分 $(m_1, t_1)$ 和 $(m_2, t_2)$ 的情况，分离剖面的能量之和严格大于组合剖面的能量：
   $$\Phi_H(T)^p < m_1^p \Phi_H\left(\frac{t_1}{m_1}\right)^p + m_2^p \Phi_H\left(\frac{t_2}{m_2}\right)^p.$$
   该不等式是非平凡的，因为与 $\mathbb{R}^n$ 上的经典索伯列夫不等式不同，常数 $\Phi_H(T)$ 非线性地依赖于 $T$，这使得简单的缩放论证无法排除分裂情形。
3. 质量输运论证：为了证明严格结合不等式，本文利用了 [MN17] 中迹不等式的质量输运证明。作者构造了一个特定的测试函数 $w$，由两个相距甚远的极值元剖面副本组成。通过分析与 $w$ 相关的最佳输运映射（Brenier 映射），作者利用了输运映射的循环单调性。剖面的几何分离迫使输运映射表现出一种与循环单调性条件不相容的行为，除非能量亏量被限制在零之外。这给出了亏量的明确下界，从而确立了严格不等式。

主要结果

• 定理 1.1（定性稳定性）：对于任意 $p \in (1, n)$ 和 $T > 0$，如果序列 $\{u_k\} \subset \mathcal{A}_T$ 满足 $\delta_T(u_k) \to 0$，则到极值元集合的距离 $d_T(u_k) \to 0$。这证实了趋近最佳常数的唯一方式是趋近极值元族。
• 定理 1.3（严格结合不等式）：针对所有 $T > 0$，证明了将分裂构型的能量与组合能量联系起来的严格不等式。
• 推论 1.2（$p=2$ 的全局定量稳定性）：通过将新的定性结果（定理 1.1）与 [FLZ26] 中现有的局部定量分析相结合，本文确立了 $p=2$ 情形下的全局定量稳定性。具体而言，存在常数 $\alpha'_T > 0$，使得对于所有 $u \in \mathcal{A}_T$，有 $\delta_T(u) \ge \alpha'_T d_T(u)^2$。

意义与主张
本文声称解决了 [FLZ26] 中提出的关于 $p=2$ 时迹索伯列夫不等式全局定量稳定性的开放问题。作者强调，该结果的主要障碍在于缺乏定性稳定性定理，而本注记提供了该定理。

本文作为一篇“简短注记”，旨在填补特定的理论空白。作者谦逊地指出，虽然质量输运方法非常有力，但由于函数值较小区域控制的退化性，它在提供到极值元距离的直接定量估计方面面临困难（正如在其他工作中对等周不等式所做的那样）。因此，本文依赖于通过质量输运推导出的定性严格结合不等式，以实现全局定量结果。

这些结果拓展了对函数不等式稳定性的理解，特别是当最佳常数非平凡地依赖于参数时，标准齐次性论证失效的情形。本文未提出新的应用或实验方案，而是严格专注于这些特定不等式稳定性性质的严谨分析。