Qualitative stability for a family of trace Sobolev inequalities

Résumé technique : Stabilité qualitative pour une famille d'inégalités de trace de Sobolev

Énoncé du problème
Cet article traite de la stabilité qualitative d'une famille à un paramètre d'inégalités de trace de Sobolev sur le demi-espace $H = \{x \in \mathbb{R}^n : x \cdot e_1 > 0\}$, où $n \ge 2$ et $p \in (1, n)$. Les inégalités, établies par Maggi et Neumayer [MN17], relient la norme $L^p$ du gradient d'une fonction $u$ à sa norme $L^{p^*}$ dans l'intérieur et à sa norme $L^{p^\sharp}$ sur la frontière $\partial H$. Plus précisément, pour un paramètre de trace fixe $T \ge 0$, la constante optimale $\Phi_H(T)$ est définie via le problème variationnel :
$$\Phi_H(T) = \inf \{ \|\nabla u\|_{L^p(H)} : u \in \mathcal{A}_T \},$$
où $\mathcal{A}_T = \{ u \in \dot{W}^{1,p}(H) : \|u\|_{L^{p^*}(H)} = 1, \|u\|_{L^{p^\sharp}(\partial H)} = T \}$.
Les extrémales (minimiseurs) de ce problème sont entièrement caractérisées comme des dilatations et translations spécifiques d'un profil explicite $U_T$. La question centrale est la stabilité : si une suite de fonctions $\{u_k\} \subset \mathcal{A}_T$ présente un déficit d'énergie tendant vers zéro $\delta_T(u_k) = \|\nabla u_k\|_{L^p}^p - \Phi_H(T)^p \to 0$, la suite converge-t-elle (dans la norme du gradient) vers l'ensemble des extrémales $\mathcal{M}_T$ ?

Bien qu'une stabilité quantitative locale ait été récemment établie pour le cas $p=2$ par Fan, Li et Zhang [FLZ26], un résultat de stabilité qualitative global (c'est-à-dire prouvant qu'un déficit tendant vers zéro implique une distance tendant vers zéro par rapport aux extrémales) faisait défaut. Cette lacune empêchait l'extension du résultat quantitatif local à un résultat global.

Méthodologie
La preuve de la stabilité qualitative repose sur le principe de concentration-compacité combiné à une nouvelle inégalité de liaison stricte pour le fonctionnel d'énergie.

1. Analyse de concentration-compacité : L'auteur adapte les lemmes standards de concentration-compacité (Lions [Lio85]) au cadre de la trace. La preuve procède par l'absurde : en supposant qu'une suite à déficit tendant vers zéro ne converge pas vers une extrémale, la suite doit soit s'annuler (exclu par la normalisation), soit se scinder (dichotomie) en deux profils asymptotiquement non interactifs.
2. L'inégalité de liaison stricte (Théorème 1.3) : Le cœur de l'argument consiste à exclure le scénario de « scission ». L'auteur démontre que pour toute décomposition des normes de masse et de trace en deux parties $(m_1, t_1)$ et $(m_2, t_2)$, la somme des énergies des profils séparés est strictement supérieure à l'énergie du profil combiné :
   $$\Phi_H(T)^p < m_1^p \Phi_H\left(\frac{t_1}{m_1}\right)^p + m_2^p \Phi_H\left(\frac{t_2}{m_2}\right)^p.$$
   Cette inégalité est non triviale car, contrairement à l'inégalité de Sobolev classique sur $\mathbb{R}^n$, la constante $\Phi_H(T)$ dépend de manière non linéaire de $T$, empêchant les arguments d'échelle simples d'exclure la scission.
3. Argument de transport de masse : Pour prouver l'inégalité de liaison stricte, l'article utilise la preuve de l'inégalité de trace par transport de masse issue de [MN17]. L'auteur construit une fonction test spécifique $w$ composée de deux copies largement séparées de profils extrémals. En analysant la carte de transport optimal (carte de Brenier) associée à $w$, l'auteur exploite la monotonie cyclique de la carte de transport. La séparation géométrique des profils force la carte de transport à se comporter d'une manière incompatible avec la condition de monotonie cyclique, sauf si le déficit d'énergie est borné strictement en dessous de zéro. Cela fournit une borne inférieure définitive sur le déficit, établissant l'inégalité stricte.

Résultats clés

• Théorème 1.1 (Stabilité qualitative) : Pour tout $p \in (1, n)$ et $T > 0$, si une suite $\{u_k\} \subset \mathcal{A}_T$ satisfait $\delta_T(u_k) \to 0$, alors la distance vers l'ensemble des extrémales $d_T(u_k) \to 0$. Cela confirme que la seule façon d'approcher la constante optimale est d'approcher la famille des extrémales.
• Théorème 1.3 (Inégalité de liaison stricte) : L'inégalité stricte reliant l'énergie d'une configuration scindée à l'énergie combinée est démontrée pour tout $T > 0$.
• Corollaire 1.2 (Stabilité quantitative globale pour $p=2$) : En combinant le nouveau résultat qualitatif (Théorème 1.1) avec l'analyse quantitative locale existante de [FLZ26], l'article établit la stabilité quantitative globale pour le cas $p=2$. Plus précisément, il existe une constante $\alpha'_T > 0$ telle que $\delta_T(u) \ge \alpha'_T d_T(u)^2$ pour tout $u \in \mathcal{A}_T$.

Portée et affirmations
L'article prétend résoudre un problème ouvert soulevé dans [FLZ26] concernant la stabilité quantitative globale des inégalités de trace de Sobolev pour $p=2$. L'auteur souligne que l'obstacle principal à ce résultat était l'absence d'un théorème de stabilité qualitative, que cette note fournit.

L'ouvrage est présenté comme une « note courte » comblant une lacune théorique spécifique. L'auteur note modestement que, bien que l'approche par transport de masse soit puissante, elle rencontre des difficultés pour fournir des estimations quantitatives directes de la distance aux extrémales (comme cela a été fait pour l'inégalité isopérimétrique dans d'autres travaux) en raison de la dégénérescence du contrôle dans les régions où la fonction est petite. Par conséquent, l'article s'appuie sur l'inégalité de liaison stricte qualitative dérivée via le transport de masse pour permettre le résultat quantitatif global.

Les résultats étendent la compréhension de la stabilité pour les inégalités fonctionnelles où la constante optimale dépend de manière non triviale d'un paramètre, un cadre où les arguments d'homogénéité standards échouent. L'article ne propose pas de nouvelles applications ni de propositions expérimentales, mais se concentre strictement sur l'analyse rigoureuse des propriétés de stabilité de ces inégalités spécifiques.