The weak Galerkin method for a class of Gross-Pitaevskii type eigenvalue problems

技术摘要：一类 Gross-Pitaevskii 型特征值问题的弱 Galerkin 方法

问题陈述
本文探讨了一类源于 Gross-Pitaevskii 型模型的非线性特征值问题的数值解。该问题被表述为在 Sobolev 空间 $H^1_0(\Omega)$ 上，受 $L^2$-范数约束的能量泛函 $E(v)$ 的变分极小化问题。能量泛函包含涉及对称矩阵 $A(x)$ 和势函数 $V(x)$ 的线性部分，以及由函数 $F(v^2)$ 定义的非线性部分。具体目标是近似基态特征对 $(\lambda, u)$，其中 $u$ 为极小化元，$\lambda$ 为对应的特征值。

方法论
作者采用弱 Galerkin (WG) 有限元方法对非线性特征值问题进行离散化。方法论按以下步骤进行：

1. 离散化：利用分片多项式构造 WG 有限元空间 $V_h$。对于整数 $k \ge 1$，离散函数 $v_h = \{v_0, v_b\}$ 由每个单元上 $k$ 次多项式 $v_0$ 和每条边上 $k-1$ 次多项式 $v_b$ 组成。
2. 弱梯度：通过涉及 $L^2$ 投影的弱形式定义离散弱梯度算子 $\nabla_w$，从而允许跨单元边界的间断近似。
3. 稳定化：引入稳定化双线性形式 $s(v_h, w_h)$ 以控制离散函数内部分量与边界分量之间的差异。
4. 非线性格式：用离散算子 $A_{u_h}^h$ 替代连续非线性算子。WG 格式寻求满足涉及离散能量泛函 $E_h$ 的离散变分方程的离散特征对 $(u_h, \lambda_h)$。
5. 后处理：为了推导特征值的下界，作者利用一种后处理技术，将 WG 近似与协调 Lagrange 单元近似（线性和二次）相结合。

主要贡献与理论结果
本文提供了严格的误差分析，并建立了 WG 近似的具体界限：

• 能量下界：作者证明 WG 格式产生的离散能量 $E_h(u_h)$ 是精确基态能量 $E(u)$ 的下界，即 $E(u) - E_h(u_h) \ge 0$。
• 误差估计：在对非线性项 $F$ 的特定假设（假设 A1–A5）以及基态 $u \in H^{k+1}(\Omega)$ 的正则性条件下，本文推导了对于充分小的网格尺寸 $h$ 的以下收敛率：
  • $L^2$-范数误差：$\|u - u_h\| \lesssim h^{k+1-2\varepsilon}$。
  • 离散 $H^1$-范数误差：$\|u - u_h\|_{1,h} \lesssim h^{k-\varepsilon}$。
  • 特征值误差：$|\lambda - \lambda_h| \lesssim h^{k-\varepsilon}$。
    其中，$\varepsilon \in (0, 1)$ 是由稳定化项产生的小常数。
• 特征值下界：通过将 WG 近似与协调单元近似相结合，作者构造了一个满足下界性质的修正特征值 $\tilde{\lambda}_h$：$0 \le \lambda - \tilde{\lambda}_h \lesssim h^{2-2\varepsilon}$（针对 $k=1$）。
• 特征值上界：同样，利用线性协调单元推导出了特征值的上界，表明 $0 \le \tilde{\lambda}_h - \lambda \lesssim h^2$。

数值结果
理论发现通过在单位正方形域上针对各种势函数 $V(x,y)$ 和非线性项 $f(u^2)$ 的数值实验得到了验证。

• 收敛率：实验证实了理论收敛阶。对于 $k=1$，特征值和能量的观测阶数均约为 2.0。对于 $k=2$，观测阶数约为 4.0。
• 下界验证：数值数据一致显示，计算得到的 WG 能量和后处理特征值低于参考值（由高度细化网格近似），这支持了理论下界的主张。
• 鲁棒性：该方法在不同非线性参数 $\beta$ 值和不同势函数配置下均表现出稳定性。

意义
本文的重要意义在于确立了弱 Galerkin 方法不仅能为非线性特征值问题提供精确近似，而且本质上能产生基态能量的下界。这一特性在物理和工程应用中尤为宝贵，因为在这些领域中，低估能级通常比高估更安全或更理想。此外，开发一种后处理技术以获取特征值的上下界，提供了一种无需精确解即可进行误差估计和解验证的实用工具。这项工作将 WG 方法的应用范围从线性谱问题扩展到了具有严格误差分析的非线性谱问题。