The weak Galerkin method for a class of Gross-Pitaevskii type eigenvalue problems

技術的概要：あるクラスのグロス＝ピタエフスキー型固有値問題に対する弱ガラーキン法

問題設定
本論文は、グロス＝ピタエフスキー型モデルに由来する非線形固有値問題の数値解法を取り扱う。この問題は、$L^2$ノルムの制約条件下で、ソボレフ空間 $H^1_0(\Omega)$ 上のエネルギー汎関数 $E(v)$ の変分的最小化として定式化される。エネルギー汎関数は、対称行列 $A(x)$ とポテンシャル $V(x)$ を含む線形部分と、関数 $F(v^2)$ によって定義される非線形部分から構成される。具体的な目的は、最小化子 $u$ とそれに対応する固有値 $\lambda$ である基底状態固有対 $(\lambda, u)$ を近似することである。

手法
著者らは、非線形固有値問題の離散化に弱ガラーキン（WG）有限要素法を採用する。手法は以下の手順で進行する。

1. 離散化: 片割れ多項式を用いて WG 有限要素空間 $V_h$ を構成する。整数 $k \ge 1$ に対して、離散関数 $v_h = \{v_0, v_b\}$ は、各要素上の次数 $k$ の多項式 $v_0$ と、辺上の次数 $k-1$ の多項式 $v_b$ からなる。
2. 弱勾配: $L^2$ 射影を含む弱定式化を通じて離散的な弱勾配作用素 $\nabla_w$ を定義し、要素境界をまたぐ不連続な近似を可能にする。
3. 安定化: 離散関数の内部成分と境界成分の差を制御するために、安定化双線形形式 $s(v_h, w_h)$ を導入する。
4. 非線形スキーム: 連続的な非線形作用素を離散作用素 $A_{u_h}^h$ に置き換える。WG スキームは、離散エネルギー汎関数 $E_h$ を含む離散変分方程式を満たす離散固有対 $(u_h, \lambda_h)$ を求める。
5. 後処理: 固有値の下限を導出するために、WG 近似と適合ラグランジュ要素近似（線形および二次）を組み合わせる後処理技術を利用する。

主要な貢献と理論的結果
本論文は、WG 近似に対する厳密な誤差解析を提供し、特定の境界値を確立する。

• エネルギーの下限: 著者らは、WG スキームによって生成される離散エネルギー $E_h(u_h)$ が、正確な基底状態エネルギー $E(u)$ に対する下限となることを証明する。すなわち、$E(u) - E_h(u_h) \ge 0$ である。
• 誤差評価: 非線形性 $F$ に関する特定の仮定（仮定 A1–A5）および基底状態 $u \in H^{k+1}(\Omega)$ の正則性のもとで、十分に小さいメッシュサイズ $h$ に対して以下の収束率が導かれる。
  • $L^2$ノルム誤差: $\|u - u_h\| \lesssim h^{k+1-2\varepsilon}$。
  • 離散 $H^1$ノルム誤差: $\|u - u_h\|_{1,h} \lesssim h^{k-\varepsilon}$。
  • 固有値誤差: $|\lambda - \lambda_h| \lesssim h^{k-\varepsilon}$。
    ここで、$\varepsilon \in (0, 1)$ は安定化項に由来する小さな定数である。
• 固有値の下限: WG 近似と適合要素近似を組み合わせることで、著者らは下限性質を満たす修正固有値 $\tilde{\lambda}_h$ を構成する。すなわち、$0 \le \lambda - \tilde{\lambda}_h \lesssim h^{2-2\varepsilon}$ （$k=1$ の場合）である。
• 固有値の上限: 同様に、線形適合要素を用いて固有値の上限が導かれ、$0 \le \tilde{\lambda}_h - \lambda \lesssim h^2$ となることが示される。

数値結果
理論的知見は、様々なポテンシャル $V(x,y)$ と非線形性 $f(u^2)$ を持つ単位正方形領域における数値実験を通じて検証される。

• 収束率: 実験は理論的な収束次数を確認する。$k=1$ の場合、固有値およびエネルギーの両方に対して観測される次数は約 2.0 である。$k=2$ の場合、観測される次数は約 4.0 である。
• 下限の検証: 数値データは、計算された WG エネルギーおよび後処理された固有値が、参照値（極めて細かくしたメッシュで近似された値）よりも常に小さいことを一貫して示しており、理論的な下限の主張を支持する。
• ロバスト性: この手法は、非線形性パラメータ $\beta$ の異なる値および異なるポテンシャル構成において安定性を示す。

意義
本論文は、弱ガラーキン法が非線形固有値問題に対する正確な近似を提供するだけでなく、本質的に基底状態エネルギーの下限を生成することを確立する点に意義がある。この性質は、エネルギーレベルの過小評価が過大評価よりも安全または望ましいことが多い物理学および工学の応用において特に価値がある。さらに、固有値の下限および上限を得るための後処理技術の開発は、正確な解を必要とせずに誤差評価および解の検証を行うための実用的なツールを提供する。本研究は、厳密な誤差解析を伴い、WG 法の適用範囲を線形問題から非線形スペクトル問題へと拡張するものである。