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The uncertainty principles of random signals related to the linear canonical transform

本文在线性规范变换（LCT）框架内建立了针对随机信号的海森堡（Heisenberg）和多诺霍-斯塔克（Donoho-Stark）不确定性原理，证明了 LCT 的参数在表征信号集中度方面比传统的傅里叶变换具有更大的灵活性。

原作者： Jia-Yin Peng, Bing-Zhao Li

发布于 2026-06-08

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原作者： Jia-Yin Peng, Bing-Zhao Li

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下你正在试图描述一团复杂的、不断变化的烟雾。有时烟雾在某个地方很浓厚，有时又会扩散开来。现在，想象这团烟雾不仅仅是一个单一的云团，而是一个随机云团，它每次在你观察时都会改变形状，就像一个会根据风向或温度而表现得不同的云团。

这篇论文是关于如何通过一个特殊的、灵活的透镜——线性卡诺尼变换（Linear Canonical Transform, LCT）——来理解这些“随机云团”（随机信号）的数学规则手册。

以下是使用简单类比对该论文主要思想的拆解：

1. 问题所在：“模糊”的权衡

在信号（如声音或无线电波）的世界里，有一个著名的规则叫做不确定性原理。这就像是在尝试拍摄一辆疾驰中的汽车。

如果你使用快速快门，你可以得到汽车位置（时间）的清晰照片，但你无法得知它的速度（频率）。
如果你使用慢速快门来观察速度（频率），汽车看起来就会变得模糊，从而失去其精确的位置。

你无法同时在两者上都达到完美的清晰度。这篇论文在问：如果汽车本身是不可预测的呢？ 如果汽车是一个“随机信号”，每次你尝试测量它时，它都会改变自己的行为，那会发生什么？

2. 工具： “神奇变焦镜头” (LCT)

通常，科学家使用一种标准的透镜叫做**傅里叶变换（Fourier Transform）**来观察信号。这就像是一个固定的缩放镜头，它只能让你很好地观察速度或位置，但不能两者兼顾。

作者使用的是线性卡诺尼变换（LCT）。你可以把 LCT 想象成一个神奇的、可调节的变焦镜头。

你可以旋转这个镜头的旋钮（改变参数 $a, b, c, d$ ）。
根据你如何旋转它，这个镜头可以展示时间与频率的混合，或者聚焦于特定的模式。
论文表明，正因为这个镜头是可调节的，它比标准镜头能提供更多的自由度来管理时间与频率之间的权衡。

3. 第一项发现：“随机雾气”规则（海森堡不确定性）

作者为这些随机云团开发了一个新版本的确定性原理。

旧规则： 对于一个可预测的信号，“时间上的模糊度”与“频率上的模糊度”的乘积有一个硬性的底限。你无法比这个极限更清晰。
新规则： 对于随机信号，这个极限不仅仅是一个固定的数字。它取决于两件事：
1. 信号本身的“随机性”（内部的混沌程度）。
2. 你如何调节你的神奇镜头（LCT 参数）。

类比： 想象你在试图猜测一个每秒钟都在变化的云团的平均形状。论文证明了，你猜测的“模糊程度”取决于云团跳动的剧烈程度（随机性）以及你观察它的特定角度（LCT 设置）。如果你选择了正确的角度，你实际上可以比使用标准镜头时更有效地减少这种模糊感。

4. 第二项发现：“拼图碎片”规则（Donoho-Stark 不确定性）

论文的第二部分涉及另一种不同类型的限制。想象你有一个拼图，但其中一些碎片丢失了。

问题是： 一个随机信号能否同时被挤进一个极小的“时间”盒子和极小的“频率”盒子中？
答案是： 不行。论文证明，如果你试图强迫一个随机信号在两个领域都变得非常小，它将会失败。
转折点： 你可以使用的盒子的尺寸取决于信号表现出某种行为的概率。这不仅仅关乎盒子的尺寸，还关乎信号出现在该盒子里的可能性。

类比： 如果你有一个随机云团，你不能说：“它一定会同时出现在天空的这个微小角落，以及风力图的这个微小角落。” 论文给出了你可以声称的最小“角落”的公式，这个公式会根据随机云团的行为以及你如何设置神奇镜头而改变。

5. 收益：修复破碎的信号

论文最后展示了这些规则如何帮助修复破碎的信号。
想象你正在尝试重建一首歌，但录音中的部分内容缺失了，或者被静电噪声（噪声）覆盖了。

因为作者知道随机信号在时间和频率上能变得多“小”（通过上述规则），他们可以证明，只要缺失的部分不是太大，原始的歌曲就可以被唯一且安全地恢复。
他们展示了使用可调节的 LCT 镜头比使用标准镜头更容易恢复这些信号，因为 LCT 提供了更多的灵活性，使信号能够更好地适配现有的数据。

总结

简而言之，这篇论文将“你无法同时了解一切”这一著名规则，更新到了不可预测的随机信号上。它引入了一个灵活的、可调节的镜头（LCT），使科学家能够：

精确计算随机信号会有多模糊。
确定信号可以容纳的最小“盒子”的大小。
证明通过使用这种灵活的镜头，我们可以更有效地重建随机信号的缺失部分。

核心要点在于，随机性增加了一个新的复杂维度，但通过使用正确的数学工具（LCT），我们仍然可以比以前更好地预测和控制这些信号。

技术摘要：与线性卡罗尼变换相关的随机信号不确定性原理

问题陈述
不确定性原理是调和分析和信号处理中的基本工具，表征了信号在时域和频域之间的定位权衡。虽然海森堡不确定性原理（HUP）和多诺霍-斯塔克不确定性原理（DSUP）对于确定性信号以及在傅里叶变换（FT）域内的随机信号已有成熟的理论基础，但在线性卡罗尼变换（LCT）域内的随机信号方面，仍存在理论框架方面的空白。现实世界的信号往往由于环境扰动或测量噪声而表现出非平稳性和随机变化。LCT 通过参数选择提供了比傅里叶变换和分数傅里叶变换（FrFT）更大的灵活性，用于分析此类信号。然而，针对 LCT 框架下随机信号的不确定性界限尚未得到严格的公式化表述。

方法论
作者通过在概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上构建随机信号的 LCT 来解决这一问题。随机信号定义为 $f(t, \eta) = \psi(t, \eta)e^{j\theta(t, \eta)}$ ，其中 $\eta$ 代表随机参数。该方法分为三个主要阶段：

数学公式化： 论文定义了随机信号的 LCT、FrFT 和 FT，建立了 LCT 域内均值和方差（持续时间）的必要定义。
HUP 的推导： 利用 LCT 核的性质和 Parseval 定理，作者推导了 LCT 频率方差的一个恒等式。通过对时域和 LCT 域方差应用 Cauchy-Schwarz 不等式，他们建立了随机信号的海森堡不确定性原理。
DSUP 的推导： 作者采用了算子理论，具体定义了 LCT 域中的时限算子和频限算子。他们计算了这些算子复合后的 Hilbert-Schmidt 范数。利用算子范数与 Hilbert-Schmidt 范数之间的关系，他们推导出了多诺霍-斯塔克不确定性原理，该原理将时间集和频率集的测度与它们的交集概率联系起来。

核心贡献与结果

LCT 域随机信号的海森堡不透明性原理 (HUP)：
论文确立了期望时间方差与期望 LCT 频率方差的乘积满足以下不等式：
$E_\eta[\sigma^2_t(\eta)]E_\eta[\sigma^2_u(\eta)] \geq \frac{b^2}{4} + \left[ \int_\Omega \int_{-\infty}^{\infty} |(t - \mu_t)(at + b\partial_t\theta(t, \eta) - \mu_u)| \psi^2(t, \eta) dt dP \right]^2$
此处 $a$ 和 $b$ 是来自 LCT 矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 的参数。结果明确显示，不确定性界限取决于 LCT 参数 $b$ 和随机信号的相位梯度。
LCT 域随机信号的多诺霍-斯塔克不确定性原理 (DSUP)：
作者证明了随机信号不能同时在极小的时域集和 LCT 频域集中高度集中。具体而言，如果一个信号在集合 $T$ 和 $U$ 上是 $\epsilon$ -集中的，且对应的随机事件集为 $B_T$ 和 $B_U$ ，则以下不等式成立：
$\frac{1}{2\pi|b||U||T|P(B_T \cap B_U)} \geq (1 - \epsilon_{B_T \times T} - \epsilon_{B_U \times U})^2$
该结果表明，同时集中受到的约束不仅取决于集合的勒贝格测度，还取决于随机事件的交集概率以及 LCT 参数 $b$ 。
特殊情况：
论文展示了所推导的结果在设置特定的 LCT 参数时，能自然地退化为 FrFT 域中的已知结果，并在设置 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ 时退化为 FT 域中的结果。
信号恢复：
基于 DSUP，论文提出了从 LCT 域中不完整或缺失观测中恢复随机信号的稳定性结果。它确立了实现唯一且稳定重建的条件，前提是集合测度乘积与交集概率相对于 LCT 参数 $b$ 满足特定界限。

意义与主张
论文声称其研究结果提供了一个统一的理论框架，用于分析具有非平稳和随机特征的随机信号。其主要意义在于不确定性界限对 LCT 参数的显式依赖性。作者指出，这种依赖性表明 LCT 在控制时域和频域定位平衡方面，比标准傅里叶变换具有更大的灵活性。

该工作被认为在理论和实践上都具有重要意义，特别是在以下方面：

表征随机信号的时频定位。
促进从不完整或部分缺失的观测中恢复随机信号。

论文并未提出新的实验装置或特定的应用场景，而是侧重于将不确定性原理在随机 LCT 域进行数学泛化。