The uncertainty principles of random signals related to the linear canonical transform

Resumen Técnico: Principios de Incertidumbre de Señales Aleatorias Relacionados con la Transformada Canónica Lineal

Planteamiento del Problema
Los principios de incertidumbre son herramientas fundamentales en el análisis armónico y el procesamiento de señales, caracterizando el compromiso entre la localización de una señal en el dominio del tiempo y su dominio de la frecuencia. Mientras que el Principio de Incertidumbre de Heisenberg (HUP) y el Principio de Incertidumbre de Donoho-Stark (DSUP) están bien establecidos para señales deterministas y han sido extendidos a señales aleatorias dentro del dominio de la Transformada de Fourier (FT), existe un vacío en el marco teórico respecto a las señales aleatorias en el dominio de la Transformada Canónica Lineal (LCT). Las señales del mundo real suelen exhibir tanto no estacionariedad como variaciones aleatorias debido a perturbaciones ambientales o ruido de medición. La LCT, que generaliza la FT y la Transformada de Fourier Fraccionaria (FrFT), ofrece una mayor flexibilidad mediante la selección de parámetros para el análisis de tales señales. Sin embargo, los límites de incertidumbre para señales aleatorias específicamente dentro del marco de la LCT no habían sido formulados rigurosamente.

Metodología
Los autores abordan este problema formulando la LCT de señales aleatorias en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Una señal aleatoria se define como $f(t, \eta) = \psi(t, \eta)e^{j\theta(t, \eta)}$, donde $\eta$ representa el parámetro aleatorio. La metodología procede en tres etapas principales:

1. Formulación Matemática: El artículo define la LCT, la FrFT y la FT para señales aleatorias, estableciendo las definiciones necesarias para los valores medios y las varianzas (duración) en el dominio de la Lcción LCT.
2. Derivación del HUP: Utilizando las propiedades del núcleo de la LCT y el teorema de Parseval, los autores derivan una identidad para la varianza de la frecuencia de la LCT. Al aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las varianzas en el dominio del tiempo y del dominio de la LCT, establecen el Principio de Incertidumbre de Heisenberg para señales aleatorias.
3. Derivación del DSUP: Los autores emplean la teoría de operadores, definiendo específicamente operadores de limitación temporal y de limitación de frecuencia en el dominio de la LCT. Calculan la norma de Hilbert-Schmidt de la composición de estos operadores. Utilizando la relación entre la norma del operador y la norma de Hilbert-Schmidt, derivan el Principio de Incertidumbre de Donoho-Stark, el cual relaciona las medidas de los conjuntos de tiempo y frecuencia con la probabilidad de su intersección.

Contribuciones Clave y Resultados

• Principio de Incertidumbre de Heisenberg (HUP) para Señales Aleatorias en LCT:
  El artículo establece que el producto de la esperanza de la varianza del tiempo y la esperanza de la varianza de la frecuencia de la LCT está acotado por:
  $$E_\eta[\sigma^2_t(\eta)]E_\eta[\sigma^2_u(\eta)] \geq \frac{b^2}{4} + \left[ \int_\Omega \int_{-\infty}^{\infty} |(t - \mu_t)(at + b\partial_t\theta(t, \eta) - \mu_u)| \psi^2(t, \eta) dt dP \right]^2$$
  Aquí, $a$ y $b$ son parámetros de la matriz LCT $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$. El resultado muestra explícitamente que el límite de incertidumbre depende del parámetro $b$ de la LCT y del gradiente de fase de la señal aleatoria.

• Principio de Incertidumbre de Donoho-Stark (DSUP) para Señales Aleatorias en LCT:
  Los autores demuestran que una señal aleatoria no puede estar simultáneamente concentrada en conjuntos arbitrariamente pequeños tanto en los dominios de tiempo como de frecuencia de la LCT. Específicamente, si una señal está $\epsilon$-concentrada en los conjuntos $T$ y $U$ con sus conjuntos de eventos aleatorios asociados $B_T$ y $B_U$, la siguiente desigualdad se cumple:
  $$\frac{1}{2\pi|b||U||T|P(B_T \cap B_U)} \geq (1 - \epsilon_{B_T \times T} - \epsilon_{B_U \times U})^2$$
  Este resultado indica que la concentración simultánea está restringida no solo por las medidas de Lebesgue de los conjuntos, sino también por la probabilidad de la intersección de los eventos aleatorios y el parámetro $b$ de la LCT.

• Casos Especiales:
  El artículo demuestra que los resultados derivados para el dominio de la LCT se reducen naturalmente a los resultados conocidos en el dominio de la FrFT (al establecer parámetros LCT específicos) y en el dominio de la FT (al establecer $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$).

• Recuperación de Señales:
  Basándose en el DSUP, el artículo presenta resultados de estabilidad para la recuperación de señales aleatorias a partir de observaciones incompletas o faltantes en el dominio de la LCT. Establece condiciones bajo las cuales es posible una reconstrucción única y estable, siempre que el producto de las medidas de los conjuntos y la probabilidad de intersección satisfaga límites específicos relativos al parámetro $b$ de la LCT.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que sus hallazgos proporcionan un marco teórico unificado para analizar señales aleatorias con características tanto no estacionarias como aleatorias. La significancia primaria radica en la dependencia explícita de los límites de incertidumbre de los parámetros de la LCT. Los autores afirman que esta dependencia indica que la LCT ofrece mayor flexibilidad que la transformada de Fourier estándar para controlar el equilibrio entre la localización temporal y de frecuencia.

El trabajo se presenta con una importancia tanto teórica como práctica, particularmente para:

1. Caracterizar la localización tiempo-frecuencia de señales aleatorias.
2. Facilitar la recuperación de señales aleatorias a partir de observaciones incompletas o parcialmente faltantes.

El artículo no propone nuevos montajes experimentales o escenarios de aplicación específicos más allá de estas caracterizaciones teóricas y garantías de recuperación, manteniendo su enfoque en la generalización matemática de los principios de incertidumbre al dominio estocástico de la LCT.