Fourier Coefficients of Siegel--Eisenstein Series of Degree $2m$ and Weight $m+1$

技术摘要：次数为 $2m$、权重为 $m+1$ 的 Siegel–Eisenstein 级数的傅里叶系数

问题陈述
本文研究了次数 $n = 2m$ 且权重 $k = m+1$ 的 Siegel–Eisenstein 级数 $E^{(n)}_k(Z)$ 的傅里叶展开，特别是在 $m \equiv 1 \pmod 4$ 且 $m \ge 5$ 的情形下。权重 $k = (n+2)/2$ 代表了 Siegel 模形式理论中的一个边界情况。虽然 Shimura 和 Weissauer 已经证明，对于权重 $k \ge (n+1)/2$（除特定例外情况外），Siegel–Eisenstein 级数是全纯的；但在 $k = (n+2)/2 \equiv 2 \pmod 4$ 的情况下，已知其对变量 $Z = X + \sqrt{-1}Y$ 的虚部 $Y$ 具有非全纯依赖性。

主要目标是明确确定该特定权重和次数下的傅里叶系数函数 $A^{(n)}_T(Y)$。这包括计算常数项和非零指数的系数，识别非全纯项的具体性质（特别是对 $\sqrt{\det Y}$ 的依赖关系），并区分 $L$-函数的极点与 Gamma 因子中的零点发生相互作用的异常情况。

方法论
分析从根本上依赖于 Mizumoto 建立的 Siegel–Eisenstein 级数的广义傅里叶展开公式。本文通过将级数分解为不同秩 $\nu$ 的 Bruhat 胞腔（Bruhat cells）的贡献，并分析这些项在复参数 $s$ 趋于 0（即级数求值点）时的行为来进行研究。

关键方法组成部分包括：

1. Mizumoto 展开式： 该级数被表示为关于 $\nu$（胞腔的秩）和 $\lambda$（指数矩阵 $T$ 的秩）的求和。每一项都涉及 Siegel 级数、Koecher–Maass Zeta 函数以及合流超几何函数。
2. 在 $s=0$ 处的 Laurent 展开： 由于级数在 $s=0$ 处定义，作者计算了每个分量的 Laurent 展开的有限部分。这需要仔细追踪由以下各项产生的零点和极点：
   • Gamma 因子 $\Gamma_\nu(s)$。
   • Siegel 级数 $S_\nu(T, s)$。
   • Koecher–Maass Zeta 函数 $\zeta^{(n)}_\nu(g, s)$。
   • 完备 Riemann Zeta 函数 $\xi(s)$。
3. 基于秩的分类讨论：
   • 常数项 ($T=0$)： 计算涉及 $\nu = 0, 1, 2, 2m-1, 2m$ 的贡献。作者利用 Epstein Zeta 函数的泛函方程和留数公式来简化求和过程。
   • 非零指数 ($T \neq 0$)： 分析区分了正半定（$T \ge 0$）和非正半定（$T \not\ge 0$）的指数。
   • 异常对 (Exceptional Pairs)： 作者定义了特定的指数集 $J^{(n)}_\lambda$，其中 Mizumoto 公式中的标量因子在 $s=0$ 处具有非正阶数。这些是最终傅里叶系数中唯一有贡献的项。
   • 平方判别式极点： 特别关注 Siegel 级数具有单极点的情况（发生在秩 $\lambda$ 为偶数且相关矩阵的判别式为平方数时）。此类极点与标量因子零点之间的相互作用决定了是否存在非零系数。

主要贡献与结果

1. 常数项公式（定理 4.1 和 6.1）：
   本文推导了常数项 $A^{(2m)}_0(Y)$ 的显式公式。

   • 对于 $m \equiv 3 \pmod 4$，常数项为 $1$，这与该情形下级数的全纯性一致。
   • 对于 $m \equiv 1 \pmod 4$，常数项表现出对 $Y$ 的非平凡依赖性：
     $$A^{(2m)}_0(Y) = 1 + \frac{(\epsilon_m - 1)\pi^{m+1}}{\zeta(m+1)\zeta(2m)\sqrt{\det Y}} \left( \frac{\zeta(m)}{2^{m+1}m!} + \frac{(m-2)!\zeta(m-1)}{(2m)!} \zeta^{(2m)}_1(Y, m-1) \right)$$
     其中 $\epsilon_m = (-1)^{(m+1)/2}$，且 $\zeta^{(2m)}_1(Y, m-1)$ 是通过延拓理解的 Koecher–Maass Zeta 函数。这一结果推广了 Kohnen、Nagaoka 和 Haruki 关于次数为 2 的公式到更高次数的情形。

2. 非零指数项（命题 5.3 和 5.5）：
   本文对 $T \neq 0$ 时的系数 $A^{(n)}_T(Y)$ 进行了完整的特征描述。

   • 正半定 $T$： 系数是关于特定秩 $\nu \in J^{(n)}_\lambda$ 的有限和。这些项使用 Siegel 级数 $S_\lambda(h, u)$ 以及合流超几何函数（或其导数）在特定点的值来表示。
   • 非正半定 $T$： 本文指出，非零系数仅产生于由矩阵 $h$ 的符号 $(p, q)$ 和判别式奇偶性决定的特定秩 $\lambda$ 与胞腔秩 $\nu$ 的组合。
   • 异常情况： 作者明确处理了标量因子中的零点抵消 Siegel 级数中极点的情况（特别是对于 $(\lambda, \nu) = (n-2, n)$ 以及平方判别式情况）。在这种情况下，系数涉及 Siegel 级数或相关 $L$-函数的导数。

3. 次数 6 的抵消（附录 A）：
   本文指出，对于 $m=3$（次数 6），在常数项计算中会出现额外的中间秩项（$\nu=3, 4$）。然而，研究表明这些项会相互抵消，从而使得对于 $m \ge 5$ 的一般常数项公式能够一致成立。

意义
本文声称提供了次数 $n=2m$ 且 $m \equiv 1 \pmod 4$ 时，针对异常权重 $k=2$（即 $n=2$）的次数二公式的高次类比。通过利用 Mizumoto 的广义展开公式，作者统一了处理次数 $n=2m$ 且 $m \equiv 1 \pmod 4$ 时的常数项和非零指数。这项工作阐明了在该边界权重下，非全纯依赖于 $Y$ 的结构，并表明这种依赖性源于 Siegel 级数的极点与 Gamma 因子及 Zeta 因子的零点之间的特定相互作用。其结果扩展了对近全纯模形式（nearly holomorphic modular forms）以及在临界权重范围内 Eisenstein 级数傅里叶展开的理解。