Fourier Coefficients of Siegel--Eisenstein Series of Degree $2m$ and Weight $m+1$

技術要約：次数 $2m$、重さ $m+1$ のシゲル・アイゼンシュタイン級数のフーリエ係数

問題設定
本論文は、次数 $n = 2m$、重さ $k = m+1$ のシゲル・アイゼンシュタイン級数 $E^{(n)}_k(Z)$ のフーリエ展開、特に $m \equiv 1 \pmod 4$ かつ $m \ge 5$ の場合を調査するものである。重さ $k = (n+2)/2$ は、シゲル・モジュラー形式の理論における境界的なケースを表している。ShimuraやWeissauerは、$k \ge (n+1)/2$ の場合には（特定の例外的なケースを除いて）シゲル・アイゼンシュタイン級数が正則であることを確立したが、$k = (n+2)/2 \equiv 2 \pmod 4$ のケースは、変数 $Z = X + \sqrt{-1}Y$ の虚部 $Y$ に対する非正則な依存性が生じることが知られている。

主な目的は、この特定の重さと次数に対して、フーリエ係数関数 $A^{(n)}_T(Y)$ を明示的に決定することである。これには、定数項および非ゼロの指数 $T$ に対する係数の計算が含まれ、非正則項の正確な性質（具体的には $\sqrt{\det Y}$ への依存性）の特定、および underlying な $L$ 関数における極とガンマ因子の零点が相互作用する例外的なケースの区別が含まれる。

手法
分析は、根本的にMizumotoによって確立されたシゲル・アイゼンシュタイン級数の一般的なフーリエ展開公式に基づいている。論文は、ブルア細胞（Bruhat cells）の異なるランク $\nu$ による寄与へと展開を進め、複素パラメータ $s$ が $0$ に近づく（級数が評価される点）ときの各項の挙動を分析する。

主要な手法構成は以下の通りである：

1. Mizumotoの展開： 級数は、ランク $\nu$（細胞のランク）および $\lambda$（指数行列 $T$ のランク）にわたる和として表される。各項は、シゲル級数、Koecher–Maass ゼータ関数、および合流型超幾何関数を含む。
2. $s=0$ におけるローラン展開： 級数は $s=0$ で定義されているため、著者らは各成分のローラン展開の有限部分を計算する。これには、以下の要素から生じる零点と極の厳密な追跡が必要となる：
   • ガンマ因子 $\Gamma_\nu(s)$
   • シゲル級数 $S_\nu(T, s)$
   • Koecher–Maass ゼータ関数 $\zeta^{(n)}_\nu(g, s)$
   • 完備されたリーマン・ゼータ関数 $\xi(s)$
3. ランクによるケース分析：
   • 定数項 ($T=0$)： 計算には $\nu = 0, 1, 2, 2m-1, 2m$ の寄与の和が含まれる。著者らは、和を簡略化するために、エプシュタイン・ゼータ関数の関数等式と留数公式を利用する。
   • 非ゼロの指数 ($T \neq 0$)： 解析は、正定値半確定（$T \ge 0$）な指数と非正定値半確定（$T \not\ge 0$）な指数の区別を行う。
   • 例外的なペア： 著者らは、Mizumotoの公式におけるスカラー因子が $s=0$ において非正の位数を持つ特定の指数集合 $J^{(n)}_\lambda$ を定義する。これらが最終的なフーリエ係数に寄与する唯一の項である。
   • 平方判別式の極： シゲル級数が単一の極を持つ場合（ランク $\lambda$ が偶数であり、関連する行列の判別式が平方数である場合）に細心の注意を払う。これらの極とスカラー因子の零点の相互作用が、非ゼロの係数が存在するかどうかを決定する。

主要な貢献と結果

1. 定数項の公式 (定理 4.1 および 6.1)：
   本論文は、定数項 $A^{(2m)}_0(Y)$ の明示的な公式を導出している。

   • $m \equiv 3 \pmod 4$ の場合、定数項は $1$ であり、これはその場合の級数の正則性と一致する。
   • $m \equiv 1 \pmod 4$ の場合、定数項は $Y$ への非自明な依存性を示す：
     $$A^{(2m)}_0(Y) = 1 + \frac{(\epsilon_m - 1)\pi^{m+1}}{\zeta(m+1)\zeta(2m)\sqrt{\det Y}} \left( \frac{\zeta(m)}{2^{m+1}m!} + \frac{(m-2)!\zeta(m-1)}{(2m)!} \zeta^{(2m)}_1(Y, m-1) \right)$$
     ここで $\epsilon_m = (-1)^{(m+1)/2}$ であり、$\zeta^{(2m)}_1(Y, m-1)$ は解析接続を通じて理解される Koecher–Maass ゼータ関数である。この結果は、Kohnen, Nagaoka, および Haruki による次数2の公式をより高次へと一般化するものである。

2. 非ゼロの指数項 (命題 5.3 および 5.5)：
   本論文は、$T \neq 0$ に対する係数 $A^{(n)}_T(Y)$ の完全な特徴付けを提供している。

   • 正定値半確定 $T$： 係数は、特定のランク $\nu \in J^{(n)}_\lambda$ にわたる有限和である。項は、シゲル級数 $S_\lambda(h, u)$ と、特定の点における合流型超幾何関数（またはその導関数）の値を用いて表される。
   • 非正定値半確定 $T$： 行列 $h$ の符号 $(p, q)$ と判別式のパリティによって決定される、特定のランク $\lambda$ と細胞ランク $\nu$ のペアにおいてのみ、非ゼロの係数が生じることが示される。
   • 例外的なケース： 著者らは、スカラー因子がシゲル級数の極を打ち消す零点を持つ場合（具体的には $(\lambda, \nu) = (n-2, n)$ および平方判別数の場合）を明示的に扱っている。これらの場合、係数はシゲル級数または関連する $L$ 関数の導関数を含む。

3. 次数6の相殺 (付録 A)：
   本論文は、$m=3$（次数6）の場合、定数項の計算において追加の中間ランク項（$\nu=3, 4$）が現れることを指摘している。しかし、これらの中間項は互いに相殺し合うことが示されており、これにより $m \ge 5$ における定数項の一般的な公式が統一的に成立することが示されている。

意義
本論文は、例外的な重さ $k=2$（すなわち $n=2$）に対する次数2の公式の高次アナロジーを提供すると主張している。Mizumotoの一般的な展開公式を用いることで、著者は $m \equiv 1 \pmod 4$ の場合の定数項および非ゼロの指数に対する扱いを統一している。本研究は、この境界の重みにおける $Y$ への非正則な依存性の構造を明らかにしており、それがシゲル級数の極とガンマ因子およびゼータ因子の零点の間の特定の相互作用から生じることを示している。これらの結果は、準正則（nearly holomorphic）モジュラー形式および臨界的な重みの範囲におけるアイゼンシュタイン級数のフーリエ展開の理解を拡張するものである。