Critical quasi-linear Schrödinger system with $p$-Laplacian

技术摘要：临界拟线性薛定谔系统 $p$-Laplacian 正解的分类

问题陈述
本文研究了涉及 $p$-Laplacian 算子的 $D^{1,p}(\mathbb{R}^N)$-临界拟线性薛定谔系统中正弱解 $(u, v)$ 的定性性质与分类：
$$\begin{cases} -\Delta_p u = u^\alpha v^\beta & \text{in } \mathbb{R}^N, \\ -\Delta_p v = u^\beta v^\alpha & \text{in } \mathbb{R}^N, \end{cases}$$
其中 $1 < p < N$，$N \ge 2$，且指数满足 $0 \le \alpha \le \beta$ 且 $\alpha + \beta = p^* - 1$。这里 $p^* = \frac{Np}{N-p}$ 表示 Sobolev 临界指数，解属于空间 $D^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，该空间是 $C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ 在范数 $\|\nabla u\|_{L^p}$ 下的完备化。

本研究旨在将 Li 和 Ma [48] 以及 Quittner 和 Souplet [58] 在半线性情形（$p=2$）下已建立的唯一性和分类结果，推广到全拟线性情形 $1 < p < N$。

方法论与技术挑战
作者采用移动平面法来建立径向对称性和单调性。然而，将该方法从 $p=2$ 扩展到 $1 < p < N$ 由于 $p$-Laplacian（$\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$）的非线性性质而带来了显著的分析障碍。论文确定了四个主要难点：

1. 非线性： 线性运算不能与 $\Delta_p$ 交换，且源自极大值原理的标准比较原理无法直接应用。
2. 缺乏 Kelvin 变换： 由于当 $p \neq 2$ 时缺乏共形不变性，无法使用 Kelvin 变换，因此必须推导出解及其梯度的精确渐近估计。
3. 缺乏 Green 表示： 由于缺乏 Green 积分表示公式，排除了基于等价积分方程的间接方法。
4. 奇异/退化椭圆性： 该算子在 $1 < p < 2$ 时是奇异椭圆型的，在 $p > 2$ 时是退化椭圆型的，需要分别处理，因为不存在统一的强比较原理。

为了克服这些问题，作者：

• 在不依赖 Kelvin 变换的情况下，建立了 $(u, v)$ 及其梯度 $(|\nabla u|, |\nabla v|)$ 的正则性和精确渐近估计。
• 利用 De Giorgi-Moser-Nash 迭代技术推导初步的衰减界限。
• 应用缩放论证和倍增引理将这些界限细化为精确估计。
• 采用加权 Poincaré 型不等式和 Hardy-Sobolev 不等式，以处理存在临界集（即梯度消失处）时的移动平面程序。
• 分别讨论奇异情形（$1 < p < 2$）和退化情形（$p > 2$），相应地调整移动平面技术和比较原理。

主要贡献与结果

1. 正则性与精确渐近估计 (定理 1.3)：
   作者证明任何正弱解 $(u, v)$ 属于 $C^{1,\theta}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N) \cap L^\infty(\mathbb{R}^N)$。至关重要的是，他们建立了对于大 $|x|$ 时解和梯度的精确双向界限：
   $$\frac{c_0}{1 + |x|^{\frac{N-p}{p-1}}} \le u(x), v(x) \le \frac{C_0}{1 + |x|^{\frac{N-p}{p-1}}},$$
   $$\frac{c'_0}{|x|^{\frac{N-1}{p-1}}} \le |\nabla u(x)|, |\nabla v(x)| \le \frac{C'_0}{|x|^{\frac{N-1}{p-1}}}.$$
   这些估计是在没有 Kelvin 变换的情况下推导出来的，填补了通用 $p$ 值下文献中的空白。

2. 径向对称性与单调性 (定理 1.4)：
   通过使用移动平面法，论文证明了所有正解关于某点 $x_0 \in \mathbb{R}^N$ 是径向对称且严格递减的。该结果适用于整个 $1 < p < N$ 范围。证明过程包括展示解关于任何方向的超平面都是对称的，并最终收敛于唯一的对称中心。

3. 唯一性与完全分类：
   作者证明了 $u \equiv v$。因此，该系统简化为单个临界 $p$-Laplacian 方程 $-\Delta_p u = u^{p^*-1}$。通过利用已有的单方程分类结果（例如来自 Sciunzi [59] 和 Vetois [71]），本文提供了正解的完全分类：
   $$u(x) = v(x) = \left[ \lambda^{\frac{1}{p-1}} \left( N^{\frac{1}{p}} \left( \frac{N-p}{p-1} \right)^{\frac{p-1}{p}} \right) \lambda^{\frac{p}{p-1}} + |x-x_0|^{\frac{p}{p-1}} \right]^{-\frac{N-p}{p}},$$
   其中 $\lambda > 0$ 和 $x_0 \in \mathbb{R}^N$ 是任意参数。

意义与范围
该论文声称将已知于半线性情形（$p=2$）的唯一性结果扩展到了通用的拟线性情形（$1 < p < N$）。它特别解决了由于 $p$-Laplacian 设置中缺乏共形不变性和 Kelvin 变换而留下的技术空白。通过建立精确的渐近行为并分别处理算子的奇异/退化性质，这项工作为临界拟线性系统的解的分类提供了严谨的基础。这些结果统一了此类系统在整个 $p$ 范围内的理解，证实了尽管算子的复杂性有所增加，其定性行为（径向对称性、单调性和在缩放与平移下的唯一性）与半线性情形保持一致。