Critical quasi-linear Schrödinger system with $p$-Laplacian

Résumé Technique : Classification des solutions positives d'un système de Schrödinger quasi-linéaire critique avec le $p$-Laplacien

Énoncé du Problème
Cet article étudie les propriétés qualitatives et la classification des solutions faibles positives $(u, v)$ du système de Schrödinger quasi-linéaire critique dans $D^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ impliquant l'opérateur $p$-Laplacien :
$$\begin{cases} -\Delta_p u = u^\alpha v^\beta & \text{dans } \mathbb{R}^N, \\ -\Delta_p v = u^\beta v^\alpha & \text{dans } \mathbb{R}^N, \end{cases}$$
où $1 < p < N$, $N \ge 2$, et les exposants satisfont $0 \le \alpha \le \beta$ avec $\alpha + \beta = p^* - 1$. Ici, $p^* = \frac{Np}{N-p}$ désigne l'exposant de Sobolev critique, et les solutions appartiennent à l'espace $D^{1,p}(\mathbb{R}^N)$, défini comme la complétion de $C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ sous la norme $\|\nabla u\|_{L^p}$.

L'étude traite de la généralisation des résultats d'unicité et de classification précédemment établis pour le cas semi-linéaire ($p=2$) par Li et Ma [48] et Quittner et Souplet [58] au régime pleinement quasi-linéaire $1 < p < N$.

Méthodologie et Défis Techniques
Les auteurs emploient la méthode des plans mobiles pour établir la symétrie radiale et la monotonie. Cependant, l'extension de cette méthode de $p=2$ à $1 < p < N$ présente des obstacles analytiques importants en raison de la nature non linéaire du $p$-Laplacien ($\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$). Le papier identifie quatre difficultés primordiales :

1. Non-linéarité : Les opérations linéaires ne peuvent pas être échangées avec $\Delta_p$, et les principes de comparaison standards dérivés des principes de maximum ne sont pas directement applicables.
2. Absence de Transformations de Kelvin : L'absence d'invariance conforme pour $p \neq 2$ empêche l'utilisation des transformations de Kelvin, nécessitant la dérivation d'estimations asymptotiques précises pour les solutions ainsi que pour leurs gradients.
3. Absence de Représentation de Green : L'absence de formule de représentation intégrale de Green empêche les méthodes indirectes basées sur des équations intégrales équivalentes.
4. Ellipticité Singulière/Dégénérée : L'opérateur est elliptique singulier pour $1 < p < 2$ et dégénéré elliptique pour $p > 2$, ce qui nécessite un traitement séparé car aucun principe de comparaison fort uniforme n'existe.

Pour surmonter ces obstacles, les auteurs :

• Établissent la régularité et des estimations asymptotiques précises pour $(u, v)$ et $(|\nabla u|, |\nabla v|)$ sans dépendre des transformations de Kelvin.
• Utilisent les techniques d'itération de De Giorgi-Moser-Nash pour dériver des bornes de décroissance préliminaires.
• Appliquent des arguments d'échelle et des lemmes de doublement pour affiner ces bornes en estimations précises.
• Emploient des inégalités de type Poincaré pondérées et des inégalités de Hardy-Sobolev pour gérer la procédure des plans mobiles en présence d'ensembles critiques (où les gradients s'annulent).
• Discutent les cas singuliers ($1 < p < 2$) et dégénérés ($p > 2$) séparément, en adaptant la technique des plans mobiles et les principes de comparaison.

Contributions Clés et Résultats

1. Régularité et Estimations Asymptotiques Précises (Théorème 1.3) :
   Les auteurs prouvent que toute solution faible positive $(u, v)$ appartient à $C^{1,\theta}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N) \cap L^\infty(\mathbb{R}^N)$. Crucialement, ils établissent des bornes bilatérales précises pour les solutions et leurs gradients pour $|x|$ grand :
   $$\frac{c_0}{1 + |x|^{\frac{N-p}{p-1}}} \le u(x), v(x) \le \frac{C_0}{1 + |x|^{\frac{N-p}{p-1}}},$$
   $$\frac{c'_0}{|x|^{\frac{N-1}{p-1}}} \le |\nabla u(x)|, |\nabla v(x)| \le \frac{C'_0}{|x|^{\frac{N-1}{p-1}}}.$$
   Ces estimations sont dérivées sans transformations de Kelvin, comblant ainsi une lacune dans la littérature pour le cas général de $p$.

2. Symétrie Radiale et Monotonie (Théorème 1.4) :
   En utilisant la méthode des plans mobiles, le papier prouve que toutes les solutions positives sont radialement symétriques et strictement décroissantes autour d'un certain point $x_0 \in \mathbb{R}^N$. Ce résultat est valable pour toute la plage $1 < p < N$. La preuve implique de montrer que les solutions sont symétriques par rapport à un hyperplan dans toute direction, convergeant finalement vers un centre de symétrie unique.

3. Unicité et Classification Complète :
   Les auteurs démontrent que $u \equiv v$. Par conséquent, le système se réduit à l'équation unique du $p$-Laplacien critique $-\Delta_p u = u^{p^*-1}$. En exploitant les résultats de classification existants pour l'équation unique (par exemple, de Sciunzi [59] et Vetois [71]), le papier fournit la classification complète des solutions positives :
   $$u(x) = v(x) = \left[ \lambda^{\frac{1}{p-1}} \left( N^{\frac{1}{p}} \left( \frac{N-p}{p-1} \right)^{\frac{p-1}{p}} \right) \lambda^{\frac{p}{p-1}} + |x-x_0|^{\frac{p}{p-1}} \right]^{-\frac{N-p}{p}},$$
   où $\lambda > 0$ et $x_0 \in \mathbb{R}^N$ sont des paramètres arbitraires.

Signification et Portée
Le papier prétend étendre les résultats d'unicité connus pour le cas semi-linéaire ($p=2$) au cas quasi-linéaire général ($1 < p < N$). Il traite spécifiquement du vide technique laissé par l'absence d'invariance conforme et de transformations de Kelvin dans le cadre du $p$-Laplacien. En établissant des comportements asymptotiques précis et en traitant séparément la nature singulière/dégénérée de l'opérateur, ce travail fournit une base rigoureuse pour la classification des solutions de systèmes quasi-linéaires critiques. Les résultats unifient la compréhension de tels systèmes sur toute la plage de $p$, confirmant que malgré la complexité accrue de l'opérateur, le comportement qualitatif (symétrie radiale, monotonie et unicité à un facteur d'échelle et de translation près) reste cohérent avec le cas semi-linéaire.