On the Positivity of a Class of Cauchy-Like Matrices

技术摘要：关于一类柯西型矩阵正定性的研究

问题陈述
本文研究了一类特定柯西型矩阵 $C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的半正定性。该矩阵元素的定义为：
$$C_{ij} = \frac{r_i(k, l) + r_j(k, l)}{\lambda_i + \lambda_j}$$
其中 $0 < \lambda_1 < \dots < \lambda_n$ 是互不相同的正实数。系数 $r_i(k, l)$ 是初等对称多项式的比值：
$$r_i(k, l) := \frac{\sigma^{(i)}_{n-k}}{\sigma^{(i)}_{n-l}}$$
其中 $\sigma_m$ 表示变量 $\{\lambda_1, \dots, \lambda_n\}$ 的 $m$ 次初等对称多项式，而 $\sigma^{(i)}_m$ 表示排除变量 $\lambda_i$ 后的相同多项式。参数 $k$ 和 $l$ 的取值范围为 $1$到$n$。

本研究的动机源于对伴随型状态矩阵的 Lyapunov 方程解的分析。虽然文中指出形式为 $W_{ij} = \frac{f(\lambda_i) + f(\lambda_j)}{\lambda_i + \lambda_j}$ 的矩阵（Kwong 或 anti-Loewner 矩阵）已有深入研究，但这一特定的对偶类矩阵在文献中却长期被忽视。

方法论
证明策略包含三个主要阶段：变量转换、构造增广奇异矩阵以及基于主子式的归纳论证。

1. 倒数变量转换：
   通过引入倒数变量 $x_i = 1/\lambda_i$ 来简化问题。通过使用对角矩阵 $X = \text{diag}(x_1, \dots, x_n)$ 和 $D_{l-1} = \text{diag}(e^{(1)}_{l-1}(x), \dots, e^{(n)}_{l-1}(x))$ 进行对角合同变换（其中 $e^{(i)}_r(x)$ 是倒数变量的初等对称多项式），原矩阵 $C$ 是半正定的充且当且仅当一个二参数族矩阵 $A^{(p,q)}_n(x)$ 是半正定时。该新矩阵的元素为：
   $$[A^{(p,q)}_n(x)]_{ij} = \frac{e^{(i)}_p(x)e^{(j)}_q(x) + e^{(j)}_p(x)e^{(i)}_q(x)}{x_i + x_j}$$
   其中 $p = k-1$ 且 $q = l-1$。

2. 增广矩阵与奇异性：
   为了证明 $A^{(p,q)}_n(x)$ 的正定性，作者构造了一个大小为 $(n+1) \times (n+1)$ 的奇异增广矩阵 $H^{(p,q)}_n(x)$：
   $$H^{(p,q)}_n(x) = \begin{bmatrix} s_{p,q}(x) & v_{p,q}^\top \\ v_{p,q} & A^{(p,q)}_n(x) \end{bmatrix}$$
   这里，$v_{p,q}$ 是初等对称多项式向量的 Hadamard 积，$s_{p,q}(x)$ 是一个由这些多项式的乘积之带符号和定义的标量。

通过与柯西核相关的生成函数恒等式，可以确定 $H^{(p,q)}_n(x)$ 的奇异性。具体而言，作者定义了一个由标准柯西矩阵的逆导出的向量 $w$，并证明了 $H^{(p,q)}_n(x)$ 具有非平凡核向量 $[-\gamma_{p,q}, w^\top]^\top$，其中 $\gamma_{p,q}$ 是依赖于 $n, p$ 和 $q$ 奇偶性的标量。这依赖于引理 2.1，该引理指出具有单极点的严格真有理函数由其在极点处的值唯一确定。

3. 基于主子式的归纳证明：
   通过对 $n$ 的归纳，利用主子式判据证明 $H^{(p,q)}_n(x)$（从而也证明了 $A^{(p,q)}_n(x)$）的正定性。

• 基础情况： 对于 $n=1$ 成立。
• 归纳步骤： 作者证明了 $H^{(p,q)}_n(x)$ 的所有适当主子式均为非负。
  • 对于包含左上角索引 (0) 的子式，该矩阵被分解为一个较小规模增广矩阵之和（经由非负系数缩放）以及一个余项 $R_{p,q}$。通过证明 $R_{p,q}$ 由组合展开中的非负系数单项式组成，确立了 $R_{p,q}$ 的非负性。
  • 对于不包含索引 0 的子式（即 $A^{(p,q)}_n(x)$ 的子矩阵），其分解依赖于归纳假设，即较小规模的 $A$ 是半正定的。
• 行列式分析： 由于该矩阵是奇异的（行列式为零），证明过程最后通过分析对应于左上角元素的余子式来完成。利用从核向量导出的伴随矩阵的秩-1 结构，证明了 $\det(A^{(p,q)}_n(x)) \geq 0$。

主要贡献与结果

• 主定理： 本文证明了对于所有不同的正数 $\lambda_i$ 以及所有 $1 \leq k, l \leq n$，矩阵 $C$ 定义于 (1.3) 是半正定的。
• 约简： 通过对角合同变换，将问题约简为 $A^{(p,q)}_n(x)$ 族的正定性问题。
• 标量正定性： 引入了一个新的标量量 $s_{p,q}(x)$，并证明了对于正数 $x_i$，该量是非负的。这是通过展示 $s_{p,q}(x)$ 是具有非负系数项的组合展开式来实现的。
• 增广矩阵技术： 本文引入了奇异增广矩阵 $H^{(p,q)}_n(x)$，并利用其特定的核结构，在增广系统的奇异性与子块 $A^{(p,q)}_n(x)$ 的正定性之间建立了联系。

意义
本文旨在填补文献中关于此类特定柯西型矩阵（即与著名的 Kwong 矩阵对偶的矩阵）研究空白的首次尝试。其意义在于确立了这些矩阵的半正定性，这些矩阵与伴随型状态矩阵的 Lyapunov 方程分析密切相关。其证明技术之处在于对标量 $s_{p,q}$ 和余项 $R_{p,q}$ 进行了显式的正项展开，这使得归纳论证能够覆盖整个二参数族。这项工作依赖于经典工具（柯西矩阵、对称多项式、生成函数），但将其应用于一种新颖的结构化语境中，以解决正定性问题。