On the Positivity of a Class of Cauchy-Like Matrices

Résumé Technique : Sur la positivité d'une classe de matrices de type Cauchy

Énoncé du Problème
L'article étudie la semi-définie positivité d'une classe spécifique de matrices de type Cauchy $C \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Les éléments de la matrice sont définis par :
$$C_{ij} = \frac{r_i(k, l) + r_j(k, l)}{\lambda_i + \lambda_j}$$
où $0 < \lambda_1 < \dots < \lambda_n$ sont des nombres réels positifs distincts. Les coefficients $r_i(k, l)$ sont des rapports de polynômes symétriques élémentaires :
$$r_i(k, l) := \frac{\sigma^{(i)}_{n-k}}{\sigma^{(i)}_{n-l}}$$
où $\sigma_m$ désigne le polynôme symétrique élémentaire de degré $m$ dans les variables $\{\lambda_1, \dots, \lambda_n\}$, et $\sigma^{(i)}_m$ désigne le même polynôme excluant la variable $\lambda_i$. Les paramètres $k$ et $l$ varient de $1$à$n$.

La motivation de cette étude provient de l'analyse des solutions d'équations de Lyapunov où la matrice d'état est sous forme compagnon. Bien que l'article note que les matrices de la forme $W_{ij} = \frac{f(\lambda_i) + f(\lambda_j)}{\lambda_i + \lambda_j}$ (matrices de Kwong ou matrices anti-Loewner) sont bien étudiées, cette classe particulière de matrices duales a été largement négligée dans la littérature.

Méthodologie
La stratégie de preuve implique trois étapes principales : une transformation de variables, la construction d'une matrice singulière augmentée, et un argument d'induction basé sur les mineurs principaux.

1. Transformation de Variables Réciproques :
   Le problème est simplifié en introduisant des variables réciproques $x_i = 1/\lambda_i$. Par une transformation de congruence diagonale utilisant les matrices diagonales $X = \text{diag}(x_1, \dots, x_n)$ et $D_{l-1} = \text{diag}(e^{(1)}_{l-1}(x), \dots, e^{(n)}_{l-1}(x))$, où $e^{(i)}_r(x)$ sont les polynômes symétriques élémentaires dans les variables réciproques, la matrice originale $C$ est montrée comme étant semi-définie positive si et seulement si une famille de matrices à deux paramètres $A^{(p,q)}_n(x)$ est semi-définie positive. Les éléments de cette nouvelle matrice sont :
   $$[A^{(p,q)}_n(x)]_{ij} = \frac{e^{(i)}_p(x)e^{(j)}_q(x) + e^{(j)}_p(x)e^{(i)}_q(x)}{x_i + x_j}$$
   où $p = k-1$ et $q = l-1$.

2. Matrice Augmentée et Singularité :
   Pour prouver la positivité de $A^{(p,q)}_n(x)$, l'auteur construit une matrice augmentée singulière $H^{(p,q)}_n(x)$ de taille $(n+1) \times (n+1)$ :
   $$H^{(p,q)}_n(x) = \begin{bmatrix} s_{p,q}(x) & v_{p,q}^\top \\ v_{p,q} & A^{(p,q)}_n(x) \end{bmatrix}$$
   Ici, $v_{p,q}$ est le produit de Hadamard des vecteurs de polynômes symétriques élémentaires, et $s_{p,q}(x)$ est un scalaire défini par une somme signée de produits de ces polynômes.
   La singularité de $H^{(p,q)}_n(x)$ est établie en utilisant des identités de fonctions génératrices liées au noyau de Cauchy. Plus précisément, l'auteur définit un vecteur $w$ dérivé de l'inverse de la matrice de Cauchy standard et montre que $H^{(p,q)}_n(x)$ possède un vecteur de noyau $[-\gamma_{p,q}, w^\top]^\top$, où $\gamma_{p,q}$ est un scalaire dépendant de la parité de $n, p,$ et $q$. Cela repose sur le Lemme 2.1, qui stipule qu'une fonction rationnelle strictement propre avec des pôles simples est déterminée de manière unique par ses valeurs aux pôles.

3. Preuve par Induction via les Mineurs Principaux :
   La semi-définie positivité de $H^{(p,q)}_n(x)$ (et par conséquent de $A^{(p,q)}_n(x)$) est prouvée par induction sur $n$ en utilisant le critère des mineurs principaux.

• Cas de Base : Vérifié pour $n=1$.
• Étape d'Induction : L'auteur démontre que tous les mineurs principaux propres de $H^{(p,q)}_n(x)$ sont non négatifs.
  • Pour les mineurs contenant l'indice supérieur gauche (0), la matrice est décomposée en une somme de matrices augmentées plus petites (scalées par des coefficients non négatifs) et un terme de reste $R_{p,q}$. La non-négativité de $R_{p,q}$ est établie en montrant qu'il est composé de monômes avec des coefficients non négatifs dans une expansion combinatoire.
  • Pour les mineurs ne contenant pas l'indice 0 (sous-matrices de $A^{(p,q)}_n(x)$), la décomposition repose sur l'hypothèse d'induction que les instances plus petites de $A$ sont semi-définies positives.
• Analyse du Déterminant : Puisque la matrice est singulière (déterminant nul), la preuve conclut par l'analyse du cofacteur correspondant à l'élément supérieur gauche. En utilisant la structure de rang 1 de la matrice adjugée dérivée du vecteur de noyau, il est montré que $\det(A^{(p,q)}_n(x)) \geq 0$.

Contributions Principales et Résultats

• Théorème Principal : L'article prouve que la matrice $C$ définie en (1.3) est semi-définie positive pour toutes les $\lambda_i$ positives distinctes et pour tous les $1 \leq k, l \leq n$.
• Réduction : Le problème est réduit à la positivité de la famille $A^{(p,q)}_n(x)$ via une congruence diagonale.
• Positivité Scalaire : Une nouvelle quantité scalaire $s_{p,q}(x)$ est introduite et prouvée non négative pour des $x_i$ positifs. Ceci est réalisé par une expansion combinatoire montrant que $s_{p,q}(x)$ est une somme de termes avec des coefficients non négatifs.
• Technique de la Matrice Augmentée : L'article introduit la matrice augmentée singulière $H^{(p,q)}_n(x)$ et utilise sa structure de noyau spécifique pour faire le pont entre la singularité du système augmenté et la positivité du sous-bloc $A^{(p,q)}_n(x)$.

Signification
Cet article se positionne comme une première tentative pour combler une lacune dans la littérature concernant cette classe spécifique de matrices de type Cauchy, qui sont les duales des matrices de Kwong bien connues. La signification réside dans l'établissement de la semi-définie positivité de ces matrices, qui sont liées à l'analyse des équations de Lyapunov avec des matrices d'état sous forme compagnon. La technique de preuve est remarquable par son expansion positive explicite de le scalaire $s_{p,q}$ et du terme de reste $R_{p,q}$, ce qui permet de clore l'argument d'induction pour l'ensemble de la famille à deux paramètres. Le travail s'appuie sur des outils classiques (matrices de Cauchy, polynômes symétriques, fonctions génératrices) mais les applique dans un contexte structurel nouveau pour résoudre la question de la positivité.