Machine Learning-Accelerated Time Integration of Plasticity Models

技术摘要：机器学习加速的塑性模型时间积分

问题陈述
表现出非线性材料行为（如循环塑性）的结构有限元（FE）模拟依赖于先进的本构模型。这些模型要求在每个积分点、每次平衡迭代以及每个时间步内，求解耦合的微分-代数方程组（DAEs）。这一过程计算成本极高。虽然隐式积分方案（如后向欧拉法）提供了无条件稳定性，允许使用更大的时间步长，但它们需要对非线性方程组进行迭代求解，这仍然是一个瓶颈，特别是在尚未实现稳定行为的循环模拟中。相反，显式方案速度更快，但通常需要极小的时间步长以维持数值稳定性。挑战在于如何在不牺牲精度或稳定性的前提下加速这些计算。

方法论
作者提出了一种基于机器学习（ML）的框架，用于加速速率无关塑性模型的时间积分。核心方法是利用前馈神经网络（FFNN）替换状态变量演化方程的数值解，从而实现显式更新。

• 物理编码框架： 不同于仅将应变映射到应力的纯数据驱动代理模型，该框架将 FFNN 直接嵌入到演化方程中。网络预测的是状态变量演化的“方向”，而非直接预测增量。
• 基于不变性的输入： 为了确保坐标系不变性并降低维度，神经网络基于由试探应力 ($\sigma_{tr}$)、极限应力 ($\sigma_{lim}$) 和背应力 ($n\beta$) 推导出的二次不变量进行运算。
• 演化方向： 该框架利用从训练数据中推断出的三个特定演化方向：$\sigma_{tr, dev}$、$\sigma_{lim, dev}$ 和 $n\beta$。最小二乘分析证实，这三个方向对于涵盖所选原型模型的演化空间是必要且充分的。
• 一致性强制执行： 该方法的一个关键组成部分是引入了修正因子 $c$。通过解析计算该因子，以确保在塑性加载期间精确满足塑性一致性条件 ($\Phi = 0$)，这在纯显式方案中通常难以满足。
• 原型模型： 该方法使用一个具有 von Mises 屈服准则和非线性运动硬化（Armstrong-Frederick 定律）的原型模型进行验证。
• 训练数据： 训练数据由使用高保真隐式后向欧拉方案集成的原型模型生成。数据包含 10 个循环的多轴比例脉动加载，并被离散化为微小的时间步。训练策略侧重于对应于塑性加载的载荷段，过滤掉弹性响应。

主要贡献

1. 通过神经网络实现的显式时间积分器： 本文引入了一种显式时间积分算法，其中状态变量的更新通过神经网络计算，从而能够使用比传统显式方法大得多的时间步长。
2. 精确的一致性条件： 该框架通过修正因子 $c$ 精确强制执行塑性一致性条件，这区别于仅通过损失函数惩罚来弱化物理约束的方法。
3. 不变性公式化： 通过使用应力不变量和解析确定的演化方向来构建神经网络，该方法确保了坐标系无关性并降低了学习任务的复杂度。
4. 混合实现： 该方法通过用户自定义子程序成功嵌入到商业有限元代码（Abaqus）中，证明了其在边界值问题中的适用性。

结果
所提出的框架通过材料点模拟和带孔板在位移控制脉动加载下的全有限元模拟进行了评估。

• 精度： 在材料点模拟中，基于神经网络的模型与参考隐式解表现出极佳的一致性。即使在 100 个循环中每个半循环仅使用单个应变增量，von Mises 应力的最大绝对误差约为 60 MPa（峰值应力约为 900 MPa）。在有限元模拟中，当使用每个半循环单个位移增量时，最大误差约为 14.3 MPa（约占峰值应力的 1.6%）。
• 稳定性： 研究表明，引入修正因子 $c$ 对于数值稳定性和精度至关重要；假设 $c=1$（忽略一致性条件）的模拟会导致显著的误差和屈服面满足方面的不一致。
• 计算效率： 基于神经网络的积分提供了显著的加速。在有限元模拟中，使用每个半循环一个位移增量时，基于神经网络的模型比使用 100 个增量的参考模型快约 34.6 倍。即使与减少到 8 个增量（以匹配神经网络的精度）的参考模型相比，基于神经网络的方法仍快约 3.3 倍。

意义与主张
作者声称，所提出的框架为加速塑性模拟提供了“非常有前景的数值性能”。研究表明，通过使用遵循物理原则（坐标系不变性和一致性条件）的神经网络来显式计算状态变量更新，可以在较大的时间步长下实现高精度和数值稳定性。该方法成功地弥合了显式积分的速度与隐式方案的鲁棒性之间的差距，特别是在循环塑性问题方面。作者强调，尽管训练数据仅由 10 个加载循环生成，但该模型在具有可变应变范围和复杂边界值问题的 100 个循环中表现出了良好的泛化能力，这表明其在无需传统迭代求解器带来的计算负担的情况下，高效模拟复杂工程结构具有潜力。