Machine Learning-Accelerated Time Integration of Plasticity Models

Technische Samenvatting: Machine Learning-versnelde tijdintegratie van plasticiteitsmodellen

Probleemstelling
Eindige elementen (FE) simulaties van structuren die niet-lineair materiaalgedrag vertonen, zoals cyclische plasticiteit, vertrouwen op geavanceerde constitutieve modellen. Deze modellen vereisen het oplossen van gekoppelde differentiaal-algebraïsche vergelijkingen (DAE's) bij elk integratiepunt, voor elke evenwichtiteratie en binnen elke tijdstap. Dit proces is computationeel duur. Hoewel impliciete integratieschema's (bijv. backward Euler) onvoorwaardelijke stabiliteit bieden waardoor grotere tijdstappen mogelijk zijn, vereisen zij iteratieve oplossingen voor niet-lineaire vergelijkingstelsels, wat een knelpunt blijft, met name bij cyclische simulaties waarbij gestabiliseerd gedrag niet onmiddellijk wordt bereikt. Daarentegen zijn expliciete schema's sneller, maar vereisen ze doorgaans prohibitief kleine tijdstappen om numerieke stabiliteit te handhaven. De uitdaging is om deze berekeningen te versnellen zonder opoffering van nauwkeurigheid of stabiliteit.

Methodologie
De auteurs stellen een machine learning (ML)-gebaseerd framework voor om de tijdintegratie van snelheid-onafhankelijke plasticiteitsmodellen te versnellen. De kernaanpak bestaat uit het vervangen van de numerieke oplossing van de evolutievergelijkingen van de toestandsvariabelen door expliciete updates die worden berekend door Feed-Forward Neurale Netwerken (FFNN's).

• Fysica-gecodeerd Framework: In tegen afstelling tot puur datagedreven surrogaatmodellen die rek naar spanning mappen, implementeert dit framework FFNN's direct in de evolutievergelijkingen. De netwerken voorspellen de richtingen van de evolutie van de toestandsvariabelen in plaats van de incrementen direct.
• Invariant-gebaseerde Inputs: Om frame-invariantie te garanderen en dimensionaliteit te reduceren, opereren de NNs op een set kwadratische invarianten afgeleid van de proefspanning ($\sigma_{tr}$), de limietspanning ($\sigma_{lim}$) en de back-stress ($n\beta$).
• Evolutierichtingen: Het framework maakt gebruik van drie specifieke evolutierichtingen die zijn afgeleid uit de trainingsdata: $\sigma_{tr, dev}$, $\sigma_{lim, dev}$ en $n\beta$. Een kleinste-kwadratenanalyse bevestigde dat deze drie richtingen noodzakelijk en voldoende zijn om de evolutieruimte van het gekozen prototype model te spannen.
• Consistentie Afdwinging: Een cruciaal onderdeel van de methode is de introductie van een correctiefactor, $c$. Deze factor wordt analytisch berekend om de exacte vervulling van de plastische consistentievoorwaarde ($\Phi = 0$) tijdens plastische belasting te waarborgen, een vereiste die vaak moeilijk te voldoen is in puur expliciete schema's.
• Prototype Model: De methode wordt gevalideerd met behulp van een prototype model met de von Mises vloeicriterium en niet-lineaire kinematische verstijving (Armstrong-Frederick wet).
• Trainingsdata: Trainingsdata worden gegenereerd met behulp van het prototype model geïntegreerd met een hoogwaardig impliciet backward Euler-schema. De data bestaat uit 10 cycli van multiaxiale proportionele pulserende belasting, gediscretiseerd in kleine tijdstappen. De trainingsstrategie richt zich op belastingssegmenten die overeenkomen met plastische belasting, waarbij elastische respons wordt weggefilterd.

Belangrijkste Bijdragen

1. Expliciete Tijd-integraat via NNs: Het artikel introduceert een expliciet tijdintegratie-algoritme waarbij updates van toestandsvariabelen worden berekend via neurale netwerken, wat het gebruik van aanzienlijk grotere tijdstappen mogelijk maakt dan traditionele expliciete methoden.
2. Exacte Consistentievoorwaarde: Het framework dwingt de plastische consistentievoorwaarde exact af via een correctiefactor, wat het onderscheidt van benaderingen die fysieke beperkingen slechts zwak afdwingen via loss function penalties.
3. Invariant Formulering: Door de NNs te formuleren met behulp van spanning-invarianten en analytisch bepaalde evolutierichtingen, zorgt de methode voor coördinatensysteem-onafhankelijkheid en vermindert het de complexiteit van de leertaak.
4. Hybride Implementatie: De aanpak is succesvol geïmplementeerd in een commerciële FE-code (Abaqus) via user-defined subroutines, wat de toepasbaarheid op randwaardeproblemen aantoont.

Resultaten
Het voorgestelde framework werd geëvalueerd via materiaalpuntsimulaties en volledige FE-simulaties van een plaat met een gat onder verplaatsingsgestuurde pulserende belasting.

• Nauwkeurigheid: In materiaalpuntsimulaties vertoonde het NN-gebaseerde model een uitstekende overeenkomst met de referentie impliciete oplossing. Zelfs met een enkele rek-increment per halve cyclus over 100 cycli, was de maximale absolute fout in de von Mises spanning ongeveer 60 MPa tegen een piekspanning van ~900 MPa. In FE-simulaties was de maximale fout ongeveer 14,3 MPa (ca. 1,6% van de piekspanning) bij het gebruik van een enkele verplaatsings-increment per halve cyclus.
• Stabiliteit: De inclusie van de correctiefactor $c$ bleek essentieel voor numerieke stabiliteit en nauwkeurigheid; simulaties waarbij $c=1$ werd aangenomen (het negeren van de consistentievoorwaarde) resulteerden in significante fouten en inconsistenties in de voldoening van het vloeioppervlak.
• Computationele Efficiëntie: De NN-gebaseerde integratie zorgde voor aanzienlijke versnellingen. In FE-simulaties was het NN-gebaseerde model, bij gebruik van één verplaatsings-increment per halve cyclus, ongeveer 34,6 keer sneller dan het referentiemodel met 100 incrementen. Zelfs vergeleken met een referentiemodel dat werd teruggebracht naar 8 incrementen (om de NN-gebaseerde nauwkeurigheid te evenaren), bleef de NN-gebaseerde aanpak ongeveer 3,3 keer sneller.

Betekenis en Claims
De auteurs beweren dat het voorgestelde framework een "zeer veelbelovende numerieke prestatie" biedt voor het versnellen van plasticiteitssimulaties. De studie demonstreert dat het mogelijk is om hoge nauwkeurigheid en numerieke stabiliteit te bereiken met grote tijdstappen door de updates van toestandsvariabelen expliciet te berekenen met behulp van neurale netwerken die fysieke principes respecteren (frame-invariantie en consistentievoorwaarden). De methode slaagt erin de kloof te overbruggen tussen de snelheid van expliciete integratie en de robuustheid van impliciete schema's, specifiek voor cyclische plasticiteitsproblemen. De auteurs benadrukken dat hoewel de trainingsdata werd gegenereerd uit slechts 10 laadcycli, het model goed generaliseerde naar 100 cycli met variabele rekbereiken en complexe randwaardeproblemen, wat wijst op het potentieel voor efficiënte simulatie van complexe technische structuren zonder de computationele last van traditionele iteratieve solvers.