Blow-Up Constructions and Applications to Segre Classes and Multidegree Formulas

技术摘要：吹胀构造及其在 Segre 类与多重次数公式中的应用

问题陈述
本文探讨了关于吹胀（blow-ups）行为及其在特征类与次数公式中应用的两个主要挑战。首先，旨在建立同时多分次吹胀（simultaneous multigraded blow-ups）与迭代吹胀构造（iterated blow-up constructions）之间关于其例外除子（exceptional divisors）的严谨几何关系。其次，旨在推导由向多重射影空间之有理映射产生的例外除子的特征类（Chern classes）的相交理论公式。

第一部分的特定动机是证明 Segre 类的乘积公式。现有文献（如 Fulton 的 Intersection Theory）中的证明通常依赖于涉及的方案为纯维数（pure-dimensional）的假设，以便应用标准的循环理论关系。本文旨在移除这一限制。同样，对于第二部分，本文解决了为多重射型空间中任意闭子方案推导次数公式的需求，这扩展了最初针对整变量（integral varieties）使用经典代数几何所制定的 van der Waerden 经典结果。

方法论
作者采用了 Fulton 开发的 Chow 群、精细相交积以及吹胀理论的形式体系。该方法分为两个主要部分：

1. 吹胀构造的比较：
   本文在两种模型之间构建了一个双有理对应关系：

   • 沿特定闭嵌入对乘积方案 $Y_1 \times \dots \times Y_n \times \mathbb{A}^1_k$ 进行的同时吹胀；
   • 涉及例外除子乘积 $E_1 \times \dots \times E_n$ 的迭代吹胀构造。
     通过分析法向锥（normal cones）及其射影化，作者建立了一个具有笛卡尔方块的交换图表。这使得在两个模型之间转移相交理论信息成为可能，特别是将例外除子的基本循环联系起来。

2. 图闭包与吹胀同构：
   本文研究了沿由全局截面生成的理想层吹胀的方案 $X$，与关联到多重射影空间的有理映射之图的方案理论闭包之间的关系。

   • 它将吹胀识别为 Rees 代数的相对 Proj。
   • 它证明了对于整方案，图闭包与吹胀是同构的。
   • 该框架被应用于 $\mathbb{P}^{m+n+1}_k$ 的特定情况，其中截面定义了向 $\mathbb{P}^m_k \times \mathbb{P}^n_k$ 的映射。
   • 利用“奇迹平坦性”（Miracle Flatness）定理，作者分析了由此产生的态射（同构于 $\mathbb{P}^1$）的纤维，从而推导出拉回的平凡线束的特征类与例外除子之间的关系。

核心贡献与结果

1. 例外除子的双有理对应：
   本文建立了构造出在迭代吹胀模型与同时吹胀模型之间创建交换图表的态射 $\phi$ 和 $\varphi$。至关重要的是，它证明了迭代模型中例外除子的基本循环的拉回等于同时吹胀模型中例外除子的基本循环（即 $\phi^*[E'] = [E]$）。

2. Segre 类的乘积公式（一般情形）：
   利用该双有比对应，本文提供了 Segle 类的乘积公式的证明：
   $$s(X_1 \times \dots \times X_n, Y_1 \times \dots \times Y_n) = s(X_1, Y_1) \times \dots \times s(X_n, Y_n)$$
   意义： 与之前的证明不同，该推导不需要方案 $X_i$ 或 $Y_i$ 是纯维数的。该证明通过将问题归约为通过作为几何桥梁的例外除子在合适解析上的 Cartier 除子情形来完成。

3. 任意子方案的多重次数公式：
   本文推导了一个公式，将 $\mathbb{P}^{m+n+1}_k$ 中的闭子方案 $V'$ 的余维数-$d$ 次数与 $\mathbb{P}^m_k \times \mathbb{P}^n_k$ 中的闭子方案 $V$ 的余维数-$d$ 双次数（bidegrees）联系起来。

   • 结果： $V'$ 的余维数-$d$ 次数等于 $V$ 的余维数-$d$ 双次数之和。
   • 意义： 该结果恢复并扩展了 van der Waerden 的经典次数公式。虽然 van der Waerden 原本的论证依赖于变量是整变量的假设，但本文的证明完全是相交理论性的，并且适用于任意闭子方案（包括非整方案）。本文指出，对于非整子方案，次数与双次数之间的关系比整情形更为微妙。

意义与主张
本文声称，其构造提供了一种“几何机制”用于转移相交理论信息，从而为 Segre 类的乘积公式和多重次数公式提供了概念性和函子性的推导。

• 关于 Segre 类： 该工作表明，乘积公式“从根本上是吹胀几何的后果”，从而允许移除限制以往证明的纯维数假设。
• 关于次数公式： 该方法在 Chow 群和 Fulton 相交理论的框架内，为 van der Waerden 公式提供了一种现代重构，将其有效性从整变量扩展到了任意闭子方案。

本文并未提出超出这些相交理论内部理论扩展之外的实验性应用或未来影响。本文严格遵循 Fulton 的 Intersection Theory [Ful98] 的惯例与符号。