Blow-Up Constructions and Applications to Segre Classes and Multidegree Formulas

技術的要約：ブローアップ構成とセグレ類および多重次数公式への応用

問題設定
本論文は、交差理論における、ブローアップの挙動およびその特性類と次数公式への応用に関する2つの主要な課題に取り組んでいる。第一に、同時多重次数ブローアップ（simultaneous multigraded blow-ups）と反復ブローアップ（iterated blow-up）構成との間の、特に例外因子（exceptional divisors）の対応に関する厳密な幾何学的関係を確立することを目的とする。第二に、マルチプロジェクティブ空間への有理写像から生じる例外因子のチャーン類に関する交差論的公式を導出することを目的とする。

第一の部分に関する具体的な動機として、セグレ類の積公式の証明が挙げられる。既存の文献（例：Fultonの『Intersection Theory』）における証明の多くは、標準的なサイクル論的関係を適用するために、対象となるスキームが純次元であるという仮定に依存している。本論文は、この制限を取り除くことを目的としている。同様に、第二の部分については、古典的な代数幾何学を用いて整リーマン多様体に対して定式化されたvan der Waerdenの古典的な結果を拡張し、マルチプロジェクティブ空間内の任意の閉部分スキームに対する次数公式を導出する必要性に対処している。

手法
著者は、Fultonによって発展したChow群、洗練された交差積、およびブローアップの理論の形式を用いている。手法は以下の2つの主要なセクションに分かれている：

1. ブローアップ構成の比較：
   本論文は、以下の2つのモデル間の双有理対応を構築する：

   • 特定の閉埋め込みに沿った、$Y_1 \times \dots \times Y_n \times \mathbb{A}^1_k$ の同時ブローアップ。
   • 例外因子の積 $E_1 \times \dots \times E_n$ を含む反復ブローアップ構成。
     法錐（normal cones）とこれらの法錐の射影化を分析することにより、著者は、2つのモデル間の交差論的情報の転送を可能にする、カルテジアン・スクエアを持つ可換図式を確立する。これにより、2つのモデル間の例外因子の基本サイクルを関連付ける。

2. グラフ閉包とブローアップの同型性：
   本論文は、大域的切断によって生成されるイデアル層に沿ったスキーム $X$ のブローアップと、関連するマルチプロジェクティブ空間への有理写像のグラフのスキーム論的閉包との関係を調査する。

   • ブローアップをRees代数の相対的なProjと同一視する。
   • 整スキームの場合、グラフ閉包はブローアップと同型であることを示す。
   • この枠組みを、$\mathbb{P}^{m+n+1}_k$ および $\mathbb{P}^m_k \times \mathbb{P}^n_k$ への写像を定義する切断の具体的なケースに適用する。
   • 「奇跡的な平坦性（Miracle Flatness）」の定理を用いて、結果として得られる射続（morphism）（$\mathbb{P}^1$ に同型）のファイバーを分析し、トートロジー的線束のプルバックのチャーン類と例外因子の間の関係を導出する。

主要な貢献と結果

1. 例外因子の双有理対応：
   本論文は、反復ブローアップ・モデルと同時ブローアップ・モデルの間に可換図式を作成する射 $\phi$ および $\varphi$ の存在を確立する。決定的なことに、反復モデルにおける例外因子の基本サイクルのプルバックが、同時ブローアップ・モデルにおける例外因子の基本サイクルに等しいこと（$\phi^*[E'] = [E]$）を証明する。

2. セグレ類の積公式（一般の場合）：
   この双有理対応を用いることで、本論文はセグレ類の積公式を提供する：
   $$s(X_1 \times \dots \times X_n, Y_1 \times \dots \times Y_n) = s(X_1, Y_1) \times \dots \times s(X_n, Y_n)$$
   意義： 既存の証明とは異なり、この導出はスキーム $X_i$ または $Y_i$ が純次元であることを要求しない。この証明は、例外因子を幾何学的な架け橋として用いることで、問題を適切な分解（resolution）上のCartier因子へと還元する。

3. 任意の部分スキームに対する多重次数公式：
   本論文は、$\mathbb{P}^{m+n+1}_k$ 内の閉部分スキーム $V'$ の余 codimension-$d$ 次数と、$\mathbb{P}^m_k \times \mathbb{P}^n_k$ 内の閉部分スキーム $V$ の余 codimension-$d$ 二重次数（bidegrees）との関係を結ぶ公式を導出する。

   • 結果： $V'$ の余 codimension-$d$ 次数は、$V$ の余 codimension-$d$ 二重数の和に等しい。
   • 意義： この結果は、van der Waerdenの古典的な次数公式を回収し、拡張するものである。van der Waerdenの元の議論は多様体が整であるという仮定に依存していたが、この証明は完全に交差論的であり、非整なものを含む任意の閉部分スキームに適用される。本論文は、非整な部分スキームの場合、次数と二重数の関係は整な場合よりも微妙であることを指摘している。

意義と主張
本論文は、その構成が交差論的情報を転送するための「幾何学的メカニズム」を提供し、それによってセグレ類の積公式および多重次数公式の概念的かつ関手的な導出を可能にすると主張している。

• セグレ類に関して： 本研究は、積公式が「根本的にブローアップの幾何学の帰結である」ことを示しており、これにより、従来の証明を制約していた純次元性の仮定を取り除くことを可能にしている。
• 次数公式に関して： このアプローチは、van der Waerdenの公式を、Chow群とFultonの交差理論の枠組みの中で、整多様体から任意の閉部分スキームへとその妥当性を拡張した現代的な再定式化を提供している。

本論文は、交差理論内におけるこれらの理論的拡張を超えた、実験的な応用や将来的な含意を提案するものではない。本論文は、Fultonの『Intersection Theory』[Ful98]の慣習および記法に厳格に従っている。