Interaction of fluids described through relative motion and application to Bianchi type-I spacetimes

技术摘要：通过相对运动描述流体相互作用及其在 Bianchi I 型时空中的应用

问题陈述
标准的相对论物质描述通常依赖于完美流体模型，该模型由能量密度 $\rho$、压强 $p$ 以及在流体自身静止参考系中测得的四维速度 $u^\mu$ 定义。虽然这种框架对于许多宇宙学和天体物理场景（如辐射、暗物质、暗能量）非常有效，但它通常假设流体是共动的，或者仅通过最小耦合或标准的热力学交换进行相互作用。作者识别出一个在描述流体相互作用方面的空白，即当耦合取决于流体体积元的相对速度时。具体而言，他们寻求构建一种应力-能量张量，其相互作用是由在另一种流体的参考系中测得的粒子密度所介导的，而非在其自身的静止参考系中。这种方法旨在探索可能影响各向异性时空演化的非最小耦合，从而为标准 $\Lambda$CDM 模型中严格的各向同性假设提供替代方案。

方法论
作者采用了场论方法来处理相对论连续介质力学，将流体体积元的拉格朗日坐标 ($X^A$) 视为场。

1. 修改拉格朗日度规： 核心创新在于对“体度规”（或拉格朗日度规）$N^{AB}$ 的修改。虽然标准度规 $N^{AB} = (g_{\mu\nu} + u_\mu u_\nu)X^A_{,\mu}X^B_{,\nu}$ 测量的是流体自身静止系中的粒子浓度，但作者引入了交叉度规 $A^{AB}_{1}$ 和 $A^{AB}_{2}$。这些度规利用另一种流体的投影张量，从流体 2 的视角测量流体 1 的体积元（反之亦然）。
2. 作用量与应力-能量张量： 物质作用量 $S_m$ 使用能量密度 $\rho_1(n_1, a_1)$ 和 $\rho_2(n_2, a_2)$ 构建，其中 $n$ 代表标准的粒子密度，而 $a$ 代表由修改后的度规导出的“交叉测量”粒子密度。通过对时空度规 $g_{\mu\nu}$ 求变分，作者推导出了一个新的应力-能量张量 $T_{\mu\nu}$。
3. 对相对速度的依赖性： 所得的应力-能量张量显式地依赖于两个四维速度的标量积 $u_1 \cdot u_2$，这与相对物理速度 $v$ 相关，通过洛伦兹因子 $\gamma(v) = -u_1 \cdot u_2$ 联系起来。这引入了对相互作用流体的状态方程（即比值 $w = p/\rho$）的速度依赖性修正。
4. 在 Bianchi I 型时空中的应用： 为了测试物理意义，作者将该形式体系应用于具有小各向异性的 Bianchi I 型时空（各向异性膨胀）。他们模拟了一个由主导流体（流体 1）驱动背景膨胀，而次占优流体（流体 2）相对于其运动并作为各向异性来源的系统。他们将各向异性和第二种流体的贡献视为对背景 FLRW 解的一阶扰动（$\epsilon$）。
5. 相对速度的动力学： 为了确保物理真实性，相对速度 $v(t)$ 并非假设为常数，而是被建模为由于流体间动量交换产生的类摩擦效应而随时间减小。

主要贡献

• 新型应力-能量张量： 推导了一种用于描述两种相互作用流体的应力-能量张量，在这种张量中，相互作用项取决于在另一种流体参考系中测得的粒子密度。这导致流体的有效压强与能量密度之比（$w$）显式依赖于相对速度 $v$。
• 热力学澄清： 本文区分了热力学压强（源自热力学第一定律）与出现在应力-能量张量中的总压强。作者证明，对于这些相互作用的流体，相互作用项会对总压强做出贡献，这意味着 $p_{total} \neq p_{thermodynamic}$。
• 解析解： 在假设小各向异性和特定相对速度演化形式的情况下，作者提供了 Bianchi I 型宇宙中标度因子、能量密度和各向异性参数演化的解析解。

结果

• 各向异性的演化： 在摄动机制下，各向异性参数 $\delta$ 的演化受量 $w_1 - \omega_2 - \lambda_2$ 的符号控制，其中 $w_1$ 是主导流体的状态方程，$\omega_2$ 和 $\lambda_2$ 是表征第二种流体及其相互作用强度的参数。
  • 如果 $w_1 > \omega_2 + \lambda_2$，则各向异性增长。
  • 如果 $w_1 < \omega_2 + \lambda_2$，则各向异性衰减。
  • 如果 $w_1 = \omega_2 + \lambda_2$，则各向异性趋于常数。
• 定性兼容性： 研究发现，虽然相互作用修改了各向异性演化的速率（将临界阈值从 $w_1 - \omega_2$ 移动到 $w_1 - \omega_2 - \lambda_2$），但它并未改变系统的定性行为。只要后期各向异性减小，各向异性就不会发生违背观测约束的发散。
• 摩擦效应： 引入相对速度的类摩擦衰减使得系统能够从初始的高相对运动状态演化到流体有效地共动状态，这与观测到的晚期宇宙各向同性是一致的。

意义与主张
作者将这项工作呈现为对一种描述流体相互作用新形式的“简要介绍”。他们声称，这种方法提供了一种在不违反广义协变性的情况下，将相对运动效应纳入应力-能量张量的数学一致的方法。

• 动机： 该工作受到宇宙学中持续存在的张力（如哈勃张力、$S_8$ 张力）以及 $\Lambda$CDM 模型中关于精确各向同性或共动物质组分假设可能过于苛刻的启发。
• 范围： 本文明确限制其范围仅限于源自应力-能量张力的引力效应。作者承认，完整的热力学描述（包括熵交换和微观粒子产生）需要使用拉格朗日乘子对作用量进行进一步的推广，这属于未来的工作。
• 未来方向： 作者建议，该形式体系可以应用于二阶宇宙学摄动、具有流动流体的相对论性恒星（例如带有暗物质核心的旋转中子星）以及具有弹性性质的相对论性固体物质模型。他们并不声称这种特定的相互作用解决了当前的宇宙学张力，而是指出它提供了一种可行且非平凡的扩展，可以作为标准流体动力学的补充，同时仍与各向异性的观测界限保持兼容。