Interaction of fluids described through relative motion and application to Bianchi type-I spacetimes

技術要約：相対運動を通じて記述される流体の相互作用と、ビアンキI型時空への適用

問題提起
標準的な相対論的物質の記述は、多くの場合、エネルギー密度 $\rho$、圧力 $p$、および流体自身の参照系で測定される4元速度 $u^\mu$ によって定義される完全流体モデルに依存している。これは多くの宇宙論的および天体物理学的シナリオ（例：放射、ダークマター、ダークエネルギー）において効果的であるが、この枠組みは通常、流体が共移動しているか、あるいは最小結合または標準的な熱力学的交換を通じてのみ相互作用することを想定している。著者らは、流体の体積要素の相対速度に明示的に依存する相互作用を記述する際の、流体間の相互作用におけるギャップを特定している。具体的には、一方の流体の参照系において測定された他方の流体の粒子密度によって媒介されるストレス・エネルギー・テンソルを定式化することを目指している。このアプローチは、標準的な$\Lambda$CDMモデルの厳格な等方性仮定に対する代替案となり得る、非最小結合の影響を及ぼす異方的時空の進化を探求することを目的としている。

方法論
著者らは、ラグランジュ座標（流体体積要素の $X^A$）を場として扱う、相対論的連続体力学の場理論的アプローチを採用している。

1. ラグランジュ計量の修正: コアとなる革新は、「ボディ計量」（またはラグランジュ計量）$N^{AB}$ の修正である。標準的な計量 $N^{AB} = (g_{\mu\nu} + u_\mu u_\nu)X^A_{,\mu}X^B_{,\nu}$ は、流体自身の静止系における粒子濃度を測定するが、著者らはクロス計量 $A^{AB}_{1}$ および $A^{AB}_{2}$ を導入している。これらは、他方の流体の4元速度の射影テンソルを用いて、一方の流体の体積要素を他方の視点から測定するものである。
2. 作用およびストレス・エネルギー・テンソル: 物質作用 $S_m$ は、エネルギー密度 $\rho_1(n_1, a_1)$ および $\rho_2(n_2, a_2)$ を用いて構築される。ここで $n$ は標準的な粒子密度であり、$a$ は修正された計量から導出される「クロス測定された」粒子密度を表す。この作用を時空計量 $g_{\mu\nu}$ に関して変分することで、新しいストレス・エネルギー・テンソル $T_{\mu\nu}$ を導出する。
3. 相対速度への依存性: 得られるストレス・エネルギー・テンソルは、2つの4元速度のスカラ積 $u_1 \cdot u_2$ に明示的に依存しており、これはローレンツ因子 $\gamma(v) = -u_1 \cdot u_2$ を通じて相対的な物理速度 $v$ と関連している。これにより、相互作用する流体の状態方程式（比 $w = p/\rho$）に対する速度依存の修正が導入される。
4. ビアンキI型時空への適用: この形式をテストするために、著者らは（小さな異方性を持つ）ビアンキI型時空（異方的膨張）に適用している。彼らは、支配的な流体（流体1）が背景膨張を駆動し、劣支配的な流体（流体2）がそれに対して相対運動することで異方性の源として機能するシステムをモデル化している。異方性と第二の流体の寄与を、背景FLRW解に対する一次摂動（$\epsilon$）として扱う。
5. 相対速度のダイナミクス: 物理的な現実性を確保するため、相対速度 $v(t)$ は一定であると仮定せず、流体間の運動量交換から生じる摩擦のような効果によって時間とともに減少するようにモデル化されている。

主要な貢献

• 新規のストレス・エネルギー・テンソル: 一方の流体の参照系において測定された粒子密度に相互作用項が依存する、2つの相互作用する流体のためのストレス・エネルギー・テンソルの導出。これにより、流体の有効な圧力対エネルギー密度比（$w$）の相対速度 $v$ への明示的な依存性がもたらされる。
• 熱力学的明確化: 論文では、熱力学的圧力（熱力学第一法則から導かれるもの）と、ストレス・エネルギー・テンソルに現れる全圧力を区別している。相互作用するこれらの流体においては、相互作用項が全圧力に寄与するため、$p_{total} \neq p_{thermodynamic}$ であることを示している。
• 解析解: 著者らは、小さな異方性と特定の相対速度進化の形式を仮定した下で、ビアンキI型宇宙におけるスケール因子、エネルギー密度、および異方性パラメータの進化に関する解析解を提供している。

結果

• 異方性の進化: 摂動領域において、異方性パラメータ $\delta$ の進化は、量 $w_1 - \omega_2 - \lambda_2$ の符号によって支配される。ここで $w_1$ は支配的な流体の状態方程式であり、$\omega_2$ と $\lambda_2$ は第二の流体およびその相互作用強度を特徴付けるパラメータである。
  • $w_1 > \omega_2 + \lambda_2$ の場合、異方性は増大する。
  • $w_1 < \omega_2 + \lambda_2$ の場合、異方性は減衰する。
  • $w_1 = \omega_2 + \lambda_2$ の場合、異方性は一定値に近づく。
• 定性的な適合性: 本研究は、相互作用が異方性進化の速度を修正する（臨界閾値を $w_1 - \omega_2$ から $w_1 - \omega_2 - \lambda_2$ へとシフトさせる）ものの、システムの定性的な挙動を変えることはないことを見出した。相対速度の減衰（摩擦効果）を考慮することで、システムは高い相対運動の状態から、流体が実質的に共移動する状態へと進化でき、これは観測された宇宙の後半の等方性と一致する。
• 摩擦効果: 相対速度の摩擦的な減衰を含めることで、システムは高い相対運動の状態から、流体が実質的に共移動する状態へと進化することが可能となり、これは観測された宇宙の後期の等方性と整合している。

意義および主張
著者らは、本研究を流体相互作用を記述するための新しい形式の「簡潔な導入」として提示している。彼らは、このアプローチが一般共変性を損なうことなく、相対運動の効果をストレス・エネルギー・テンソルに組み込むための数学的に一貫した方法を提供すると主張している。

• 動機: 本研究は、宇宙論における持続的なテンション（例：ハッブル・テンション、$S_8$ テンション）と、$\Lambda$CDMモデルにおける完全な等方性や共移動する物質成分の仮定が制限的すぎる可能性によって動機付けられている。
• 範囲: 論文は、グラビティ（重力）効果の記述に限定した範囲を明示している。彼らは、完全な熱力学的記述（エントロピー交換や微視的な粒子生成を含む）には、ラグランジュ乗数を用いた作用のさらなる一般化が必要であることを認めており、それは今後の課題としている。
• 将来の方向性: 著者らは、この形式が、第二次宇宙論的摂動、流れる流体を持つ相対論的星（例：ダークマターコアを持つ回転中性子星）、および弾性的性質を持つ相対論的固体物質のモデルに応用できる可能性があると示唆している。彼らは、この特定の相互作用が現在の宇宙論的テンションを解決すると主張しているのではなく、むしろ、観測的な異方性の境界と両立可能な、標準的な流体力学に対する実行可能で非自明な拡張を提供していると考えている。