Jacobi exceptional orthogonal polynomials for extended Scarf I potentials with position-dependent mass

技术摘要：具有位置相关质量的扩展 Scarf I 型 Jacobi 特殊正交多项式

问题陈述
本文研究了在存在位置相关质量（PDM）的情况下，构建精确可解量子势能的挑战。虽然与特殊正交多项式（EOPs）相关的标准量子势的有理扩展在常质量系统中已得到广泛研究，但将其推广到 PDM 背景下的尝试较少。具体而言，作者关注在由 $m(\alpha; x) = (1 + \alpha \sin x)^{-2}$（其中 $0 < \alpha < 1$）定义的 PDM 背景下的 Scarf I 型势能。目标是求解相应的薛定谔方程，并生成其波函数由 $X_m$-Jacobi 特殊正交多项式（类型 I、II 和 III）表示的有理扩展势能。

方法论
核心方法论依赖于点规范变换（PCT），将 PDM 问题映射到一个标准的常质量问题。

1. 映射到常质量： 作者采用了 Mustafa-Mazharimousavi 动能算符排序。他们定义了一个变形动量算符 $\pi_x$，并引入坐标变换 $u(\alpha; x)$ 和波函数变换 $\phi_n(u) \propto \sqrt{f(\alpha; x)}\psi_n(x)$。这通过将 PDM 薛定谔方程（对于 Scarf I 势 $V(x)$）映射到标准薛定谔方程（对于常质量 Scarf I 势 $U(u)$）。
2. 参数变换： 该变换建立了原始势能参数（$A, B$）与映射后的势能参数（$A', B'$）之间的关系，其中涉及辅助参数 $\Delta_1$ 和 $\Delta_2$。
3. 扩展的反向映射： 作者利用已知常质量 Scarf I 势的有理扩展（这些扩展是通过使用与 $X_m$-Jacobi 多项式相关的种子函数进行的一步超对称量子力学（SUSYQM）构建的），通过应用已知的扩展的反向 PCT，构建了对应的 PDM Scarf I 势的有理扩展。
4. 变形超对称： 在变形超对称框架内对生成的势能进行了分析，以验证“变形形状不变性”这一性质，即伴随势能保持相同的函数形式但参数发生偏移。

主要贡献与结果

• 精确可解性： 本文证明了具有特定 PDM $m(\alpha; x) = (1 + \alpha \sin x)^{-2}$ 的 Scarf I 型势能是精确可解的。其能量特征值和波函数根据参数 $A, B, \alpha$ 以及量子数 $n$ 进行了显式推导。
• 有理扩展： 构建了三类具有 PDM 的有理扩展 Scarf I 型势能（类型 I、II 和 III）。
  • 类型 I 和 II： 这些扩展与原始势能是严格同谱的。它们的波函数涉及次数为 $m+n$ 的 $X_m$-Jacobi 多项式。
  • 类型 III： 该扩展在原始能谱下方引入了一个额外的束缚态。
• 多项式结构： 研究表明，扩展势能的波函数与基态波函数以及特定的多项式 $Q_n^{(m)}(t)$ 的乘积成正比。这些多项式被证明在区间 $(-1, 1)$ 上关于特定权重函数构成完备的正交集（EOPs）。
• 变形形状不变性： 研究确认了原始 PDM Scarf I 势能及其类型 I 和 II 有理扩展表现出变形形状不变性性质。这使得在变形 SUSY 框架下构建哈密顿量序列并直接通过能量差（$\epsilon_i$）的求和来计算能量特征值成为可能。
• 显式示例： 第 5 节提供了 $m=1$（类型 I 或 II）情况下的具体示例，提供了以 $X_1$-Jacobi EOPs 表示的扩展势能、能谱和波函数的显式公式。

意义与主张
本文声称提供了一个额外的精确可解 PDM 势能实例，其波函数通过 $X_m$-Jacobi EOPs 表示。其意义在于弥合了 PDM 系统与特殊正交多项理论之间的鸿沟。通过利用 PCT，作者展示了已知于常质量系统的有理扩展的丰富结构是如何系统地转移到特定的 PDM 背景下的。此外，对变形形状不变性的论证验证了变形 SUSYQM 在此类问题中的适用性。作者总结道，虽然目前的工作侧重于单指数扩展，但研究多指数有理扩展及其对应的多项式仍是未来研究的一个充满前景的方向。