Jacobi exceptional orthogonal polynomials for extended Scarf I potentials with position-dependent mass

技術要約：位置依存質量を持つ拡張Scarf Iポテンシャルにおけるヤコビ例外直交多項式

問題の所在
本論文は、位置依存質量（PDM）が存在する状況下で、厳密に解ける量子ポテンシャルを構築するという課題に取り組んでいる。定数質量系における標準的な量子ポテンシャルの有理的拡張は、例外直交多項式（EOPs）と結びついて確立されているが、これらをPDM背景へと一般化する試みは少ない。具体的に、著者らは $m(\alpha; x) = (1 + \alpha \sin x)^{-2}$ （ただし $0 < \alpha < 1$）で定義されるPDM背景におけるScarf Iポテンシャルに焦点を当てている。目的は、対応するシュレディンガー方程式を解き、$X_m$-Jacobi例外直交多項式（タイプI、II、およびIII）を用いてその波動関数を生成することである。

手法
核となる手法は、点正準変換（PCT）を用いて、PDM問題を標準的な定数質量問題へと写像することに基づいている。

1. 定数質量への写像: 著者らは、運動エネルギー演算子のMustafa-Mazharimousaviの順序付けを利用している。彼らは変形された運動量演算子 $\pi_x$ を定義し、座標変換 $u(\alpha; x)$ と波動関数変換 $\phi_n(u) \propto \sqrt{f(\alpha; x)}\psi_n(x)$ を導入する。これにより、Scarf Iポテンシャル $V(x)$ に関するPDMシュレディンガー方程式を、定数質量を持つScarf Iポテンシャル $U(u)$ に関する標準的なシュレディンガー方程式へと写像する。
2. パラメータ変換: この変換により、元のポテンシャルのパラメータ（$A, B$）と、写像されたポテンシャルのパラメータ（$A', B'$）との間の関係性が、補助パラメータ $\Delta_1$ および $\Delta_2$ を含めて確立される。
3. 拡張のための逆写像: 著者らは、$X_m$-Jacobi多項式に関連するシード関数を用いた一段階の超対称量子力学（SUSYQM）を通じて構築された、定数質量Scarf Iポテンシャルの既知の有理的拡張を利用する。これらの既知の拡張に対して、この逆PCTを適用することで、PDM Scaf Iポテンシャルに対応する有理的拡張を構築する。
4. 変形された超対称性: 得られたポテンシャルは、変形されたSUSYQMの枠組み内で分析され、「変形された形状不変性（deformed shape invariance）」、すなわち、パートナーポテンシャルがシフトしたパラメータを保持しながら同じ関数形式を維持するという性質が検証される。

主要な貢献と結果

• 厳密な可解性: 本論文は、特定のPDM $m(\alpha; x) = (1 + \alpha \sin x)^{-2}$ を持つScarf Iポテンシャルが厳密に可解であることを示している。エネルギー固有値および波動関数は、パラメータ $A, B, \alpha$ および量子数 $n$ を用いて明示的に導出される。
• 有理的拡張: 三種類の有理的に拡張されたPDM Scarf Iポテンシャル（タイプI、II、およびIII）が構築されている。
  • タイプIおよびII: これらの拡張は、元のポテンシャルと厳密に等スペクトル（isospectral）である。その波動関数は、次数 $m+n$ の$X_m$-Jacobi多項式を含む。
  • タイプIII: この拡張は、元のスペクトルの下に、追加の束縛状態を導入する。
• 多項式の構造: 拡張されたポテンシャルの波動関数は、基底状態の波動関数と特定の多項式 $Q_n^{(m)}(t)$ の積に比例することが示されている。これらの多項式は、区間 $(-1, 1)$ における特定の重み関数に関して、完全かつ直交する集合（EOPs）を形成することが証明されている。
• 変形された形状不変性: 本研究は、元のPDM Scarf IポテンシャルおよびそのタイプIおよびIIの有理的拡張が、変形された形状不変性の性質を示すことを確認している。これにより、変形されたSUSYの枠組みにおいて、ハミルトニアンの階層を構築し、エネルギー差（$\epsilon_i$）の総和を通じてエネルギー固有値を直接計算することが可能となる。
• 具体的な例: セクション5では、$m=1$（タイプIまたはII）の場合の具体的な例を提供しており、$X_1$-Jacobi EOPsを用いて表現された、拡張ポテンシャル、エネルギースペクトル、および波動関数の明示的な公式を提示している。

意義と主張
本論文は、波動関数が$X_m$-Jacobi EOPsによって表現される、厳密に解けるPDMポテンシャルの追加の例を提供することを主張している。その意義は、PDM系と例外直交多項類の理論との間の溝を埋めることにある。PCTを利用することで、著者らは、定数質量系で知られている有理的拡張の豊かな構造が、特定のPDM背景へと体系的に転送できることを示している。さらに、拡張されたポテンシャルに対する変形された形状不変性の実証は、変形されたSUSYQMのこの種の課題への適用可能性を検証するものである。著者らは、現在の研究は単一インデックスの拡張に焦点を当てているものの、多重インデックスの有理的拡張およびそれらに対応する多項式の調査が、将来の研究における有望な方向性であることを結論づけている。