Jacobi exceptional orthogonal polynomials for extended Scarf I potentials with position-dependent mass

Resumen Técnico: Polinomios Ortogonales Excepcionales de Jacobi para Potenciales Scarf I Extendidos con Masa Dependiente de la Posición

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío de construir potenciales cuánticos exactamente resolubles en presencia de una masa dependiente de la posición (PDM, por sus siglas en inglés). Mientras que las extensiones racionales de los potenciales cuánticos estándar conectados a polinomios ortogonales excepcionales (EOPs) están bien establecidas para sistemas de masa constante, se han realizado menos intentos para generalizarlas a entornos PDM. Específicamente, los autores se centran en el potencial Scarf I dentro de un entorno PDM definido por $m(\alpha; x) = (1 + \alpha \sin x)^{-2}$ (donde $0 < \alpha < 1$). El objetivo es resolver la correspondiente ecuación de Schrödinger y generar extensiones racionales de este potencial cuyas funciones de onda se expresen en términos de polinomios ortogonales excepcionales de Jacobi $X_m$ (tipos I, II y III).

Metodología
La metodología central se basa en una Transformación Canónica de Punto (PCT) para mapear el problema PDM a un problema estándar de masa constante.

1. Mapeo a Masa Constante: Los autores utilizan el ordenamiento de Mustafa-Mazharimousavi para el operador de energía cinética. Definen un operador de momento deformado $\pi_x$ e introducen una transformación de la función de onda $\phi_n(u) \propto \sqrt{f(\alpha; x)}\psi_n(x)$. Esto mapea la ecuación de Schrödinger PDM para el potencial Scarf I $V(x)$ a una ecuación de Schrödinger estándar para un potencial Scarf I $U(u)$ con masa constante.
2. Transformación de Parámetros: La transformación establece una relación entre los parámetros del potencial original ($A, B$) y el potencial mapeado ($A', B'$), involucrando parámetros auxiliares $\Delta_1$ y $\Delta_2$.
3. Mapeo Inverso para Extensiones: Los autores aprovechan las extensiones racionales conocidas del potencial Scarf I de masa constante, las cuales se construyen mediante mecánica cuántica de supersimetría (SUSYQM) de un paso utilizando funciones semilla asociadas con los polinomios de Jacobi $X_m$. Al aplicar la PCT inversa a estas extensiones conocidas, construyen las correspondientes extensiones racionales para el potencial Scarf I con PDM.
4. Supersimetría Deformada: Los potenciales resultantes se analizan dentro de un marco de SUSYQM deformado para verificar la "invariancia de forma deformada", una propiedad donde el potencial compañero retiene la misma forma funcional pero con parámetros desplazados.

Contribuciones Claves y Resultados

• Resolubilidad Exacta: El artículo demuestra que el potencial Scarf I con la PDM específica $m(\alpha; x) = (1 + \alpha \sin x)^{-2}$ es exactamente resoluble. Los autovalores de energía y las funciones de onda se derivan explícitamente en términos de los parámetros $A, B, \alpha$ y el número cuántico $n$.
• Extensiones Racionales: Se construyen tres familias de potenciales Scarf I con PDM racionalmente extendidos (Tipos I, II y III).
  • Tipos I y II: Estas extensiones son estrictamente isospectrales al potencial original. Sus funciones de onda involucran polinomios de Jacobi $X_m$ de grado $m+n$.
  • Tipo III: Esta extensión introduce un estado ligado adicional por debajo del espectro original.
• Estructura Polinómica: Se muestra que las funciones de onda de los potenciales extendidos son proporcionales a productos de una función de onda del estado fundamental y polinomios específicos $Q_n^{(m)}(t)$. Se demuestra que estos polinomios forman conjuntos completos y ortogonales (EOPs) con respecto a una función de peso específica en el intervalo $(-1, 1)$.
• Invariancia de Forma Deformada: El estudio confirma que el potencial Scarf I PDM original y sus extensiones racionales de Tipo I y II exhiben una propiedad de invariancia de forma deformada. Esto permite la construcción de una jerarquía de Hamiltonianos y el cálculo directo de los autovalores de energía mediante la suma de las diferencias de energía ($\epsilon_i$) en el marco de la SUSY deformada.
• Ejemplos Explícitos: La Sección 5 proporciona un ejemplo concreto para el caso $m=1$ (Tipo I o II), ofreciendo fórmulas explícitas para el potencial extendido, el espectro de energía y las funciones de onda expresadas en términos de EOPs de Jacobi $X_1$.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un ejemplo adicional de potenciales PDM exactamente resolubles donde las funciones de onda se expresan mediante EOPs de Jacobi $X_m$. La significancia radica en cerrar la brecha entre los sistemas PDM y la teoría de los polinomios ortogonales excepcionales. Al utilizar la PCT, los autores muestran que la rica estructura de las extensiones racionales conocida para sistemas de masa constante puede transferirse sistemáticamente a entornos PDM específicos. Además, la demostración de la invariancia de forma deformada para estos potenciales extendidos valida la aplicabilidad de la SUSYQM deformada a esta clase de problemas. Los autores concluyen que, si bien el presente trabajo se centra en extensiones de índice único, la investigación de extensiones racionales de índice múltiple y sus correspondientes polinomios sigue siendo una dirección prometedora para la investigación futura.