Chebotarev geodesic theorem: split case

技术摘要：Alberto Acosta Reche 的《切博塔列夫测地线定理：分裂情形》（Chebotarev geodesic theorem: split case）

问题陈述
本文研究了针对共形子群 $\Gamma \subset SL_2(\mathbb{Z})$ 的素测地线定理（Prime Geodesic Theorem, PGT），特别关注在商群 $\bar{\Gamma} = \Gamma' \backslash \Gamma$ 的特定共轭类中素测地线的分布，其中 $\Gamma'$ 是一个正规子群（通常是主共形子群 $\Gamma(q)$）。该问题是代数数论中切博塔列夫密度定理（Chebotarev Density Theorem）的测地线类比。

虽然渐近行为 $\Psi_\Gamma(X) \sim X$ 已得到充分研究（其误差项为 $E_\Gamma(X)$），但在一般的共形情形下，特别是当通过非平凡类函数进行加权时，误差项的精确收敛速率仍然是一个核心挑战。Luo 和 Sarnak [LS95] 以及 Soundararajan 和 Young [SY13] 的先前工作为 $\Gamma = SL_2(\mathbb{Z})$ 及其特定子群建立了强有力的界限，实现了 $O_\epsilon(X^{25/36+\epsilon})$ 的误差项。然而，将这些结果推广到任意共形子群上的任意类函数，并处理由于 $-I \notin \Gamma(q)$ 而产生的权重 1 Maass 形式的技术细节，需要进一步的发展。

方法论
作者结合了谱理论、迹公式和解析数论技术来推广先前的结果。其方法论通过以下几个关键阶段进行：

1. 归约为共形特征（Reduction to Congruence Characters）： 利用 Artin 关于诱导特征的定理和诱导类函数的性质，将估计任意类函数的求和问题归约为估计共形特征 $\chi$ 的求和问题（引理 2.1，命题 2.3）。这使得研究重点可以转向扭曲切比雪夫和 $\Psi_\Gamma(X; \chi)$。

2. 谱分解与迹公式： 本文利用了 Selberg 迹公式和 Bruggeman–Kuznetsov 迹公式。一个重要的技术障碍在于如何将 Bruggeman–Kuznetsov 公式应用于测试函数必须满足特定增长条件的共形特征。作者借鉴了 Proskurin [Pro03] 的论证，并通过 Weil 对 Kloosterman 和的界限放宽了对测试函数条件的限制（第 3.6 节）。

3. 构造正交规范基： 一个关键组成部分是构造一个与 Hecke 算子良好交互的 $(\Gamma, \chi)$ 的 Maass 尖点形式的正交规范基。作者证明了存在一个基 $\{u_j\}$，其中每个 $u_j$ 都属于某个扭曲新形式 $f_j$ 的旧空间之和（推论 6.5）。这一结构性结果对于将相关的谱平均表示为 $L$-函数的形式至关重要。

4. 谱平均与 $L$-函数：

   • 定理 1.7 (Luo-Sarnak 推广)： 作者将 Luo-Sarnak 的论证推广到任意共形特征。这涉及估计朴素 Rankin–Selberg 级数 $L(s; |u_j|^2)$ 的谱平均。通过将基分解为旧空间并利用新形式及其扭曲理论，作者建立了临界线上 $|L(s; |u_j|^2)|^2$ 平均值的界限（定理 7.1）。这依赖于谱大筛法（spectral large sieve）和伴随 $L$-函数的界限。
   • 定理 1.8 (Soundararajan-Young 推广)： 作者使用 Bykovskii–Zagier 级数 $Z(s; t)$ 推广了 Soundararajan-Young 的方法。该级数将迹公式中的双曲贡献表示为 Dirichlet $L$-函数的函数。作者证明了 $Z(s; t)$ 在临界线上的界限涉及一个容许亚凸界限（subconvexity exponent）$\theta$（命题 9.7），这依赖于 $Z(s; t)$ 的 $L$-函数乘积分解以及容许指数的定义（定义 1.1）。

5. 优化： 最终的误差项是通过在 Luo-Sarnak 策略（定理 1.7）和 Soundararajan-Young 策略（定理 1.8）得到的界限之间进行插值，并优化迹公式导出的显式公式中的参数而得出的。

主要贡献与结果

• 主定理 (Theorem 1.2)： 本文证明了对于任何共形子群 $\Gamma$，任何类函数 $f$ 在 $\bar{\Gamma}$ 上，以及任何容许指数 $\theta > 0$，扭曲切比雪夫和满足：
  $$\Psi_\Gamma(X; f) = \langle f, 1_{\bar{\Gamma}} \rangle_{\bar{\Gamma}} X + O_{f, \theta, \epsilon}(X^{2/3 + \theta/6 + \epsilon}).$$
  假设亚凸指数 $\theta = 1/6 + \epsilon$（根据 Petrow 和 Young [PY20, PY23] 已知是容许的），无条件的误差项为 $O_{f, \epsilon}(X^{25/36 + \epsilon})$。

• 推论 1.3 (共形子群的 PGT)： 作为直接结果，素测地线定理对于任何共形子群 $\Gamma$ 均成立，且误差项为 $E_\Gamma(X) = O_\epsilon(X^{25/36 + \epsilon})$。这强化了 [LRS95] 中关于 Luo-Sarnak 界限可以被推广的说法。

• 推论 1.4 (测地线狄利克雷定理)： 本文建立了测地线的狄利克雷算术级数类比。对于任何 $a \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$，迹映射模 $q$ 同余于 $a$ 的测地线之和在渐近意义上与迹映射纤维的大小成正比，并具有相同的误差项 $O(X^{25/36+\epsilon})$。这改进了 [CHK24] 和 [Dei25] 关于 $X$-维度的误差项的结果。

• 定理 1.7 和 1.8： 这些中间结果提供了关于谱参数的指数和 $S(T, X)$ 的必要界限。定理 1.7 推广了 Luo-Sarnak 界限 ($S(T, X) \ll T^{5/4}X^{1/8}$)，而定理 1.8 则推广了 Soundararajan-Young 界限 ($S(T, X) \ll X^{1/4+\theta/2}T^{1/2}$)。

意义与主张
本文声称提供了第一个无条件证明，即对于任意共形子群和任意类函数，切博塔列夫测地线定理都满足指数 $25/36 + \epsilon$。这统一并扩展了 Luo, Sarnak, Soundararajan 和 Young 在 $SL_2(\mathbb{Z})$ 及常数函数这一特定情形下的研究成果，将其推广到了更一般的共形特征背景下。

作者明确指出，其设置比 Sarnak 最初的工作 [Sar80] 略微更广，因为它涵盖了不包含 $-I$ 的共形子群（需要处理权重 1 的 Maass 形式）。其意义在于成功地将“分裂情形”（split case）的论证（使用 Bykovskii–Zagier 级数和 Rankin–Selberg 卷积）适配到这一更广泛的语境中，从而证实了这类双曲流形的误差项的预期行为。本文并未声称达到了预期的最优界限 $X^{1/2+\epsilon}$，而是指出该界限目前仍难以企及，但它确立了目前该一般设定下已知的最佳无条件界限。