Chebotarev geodesic theorem: split case

技術的要約：「Chebotarev geodesic theorem: split case」 Alberto Acosta Reche 著

問題の所在
本論文は、共形部分群 $\Gamma \subset SL_2(\mathbb{Z})$ に対する素形跡定理（Prime Geodesic Theorem, PGT）を調査しており、特に商群 $\bar{\Gamma} = \Gamma' \backslash \Gamma$（ここで $\Gamma'$ は通常、主共形部分群 $\Gamma(q)$ であるような正規部分群）における特定の共役類内の素形跡の分布に焦点を当てている。これは、代数体論におけるチェボタレフ密度定理の測地線版である。

漸近挙動 $\Psi_\Gamma(X) \sim X$ は確立されているが（誤差項 $E_\Gamma(X)$ を伴う）、一般的な共形の場合、特に非自明な類関数（class functions）によって重み付けされた際の誤差項の正確な収束速度は、依然として中心的な課題である。LuoとSarnak [LS95]、およびSoundararajanとYoung [SY13] による先行研究では、$\Gamma = SL_2(\mathbb{Z})$ および特定の部分群の場合について強力な境界を確立し、$O_\epsilon(X^{25/36+\epsilon})$ という誤差項を達成した。しかし、任意の類関数および任意の共形部分群へとこれらの結果を拡張すること、および（$-I \notin \Gamma(q)$ の場合に生じる）重み1のMaass形式の技術的な詳細を扱うことには、さらなる発展が必要であった。

手法
著者は、先行研究を一般化するために、スペクトル理論、トレース公式、および解析的数論の手法を組み合わせて用いる。その手法は、以下の主要な段階を経て進められる：

1. 共形指標への還元： 誘導された指標の性質および誘導された類関数の性質を用いたArtinの定理を用いることで、任意の類関数に関する和の推定問題を、共形指標 $\chi$ に関する和の推定問題へと還元する（補題 2.1, 提言 2.3）。これにより、焦点はねじれたチェビシェフ和 $\Psi_\Gamma(X; \chi)$ の推定へと移る。

2. スペクトル分解とトレース公式： 本論文は、Selbergのトレース公式およびBruggemann–Kuznetsovのトレース公式を利用している。重要な技術的障壁は、テスト関数が特定の成長条件を満たす必要がある共形指標に対してBruggemann–Kuznetsov公式を適用することであった。著者はProskurin [Pro03] の議論を適応させ、Weilによるクローネッカー和の境界を用いて、テスト関数に対する条件を緩和している（セクション 3.6）。

3. 正規直交基底の構成： Hecke作用素と良好に相互作用する $(\Gamma, \chi)$ のMaass尖点形式の正規直交基底の構成が極めて重要な要素である。著者は、各 $u_j$ が新しい形式（newform）$f_j$ のねじれの旧空間（oldspaces）の和に属するような基底 $\{u_j\}$ の存在を証明している（系 6.5）。この構造的結果は、関連するスペクトル平均を $L$ 関数を用いて表現するために不可欠である。

4. スペクトル平均と $L$ 関数：

   • 定理 1.7 (Luo-Sarnakの一般化)： 著者は、任意の共形指標に対してLuo-Sarnakの議論を一般化する。これには、素朴なランクイン・セルベルグ級数 $L(s; |u_j|^2)$ のスペクトル平均の推定が含まれる。基底を旧空間とねじれの和に分解し、新しい形式とねじれの理論を利用することで、著者は臨界線上における $|L(s; |u_j|^2)|^2$ の平均の境界を確立する（定理 7.1）。これは、スペクトルのラージ・シーブ（large sieve）および随伴 $L$ 関数の境界に基づいている。
   • 定理 1.8 (Soundararajan-Youngの一般化)： 著者は、Bykovskii–Zagier級数 $Z(s; t)$ を用いてSoundararajan-Youngのアプローチを一般化する。この級数は、双曲的寄与をディリクレ $L$ 関数を用いてトレース公式の中に表現するものである。著者は、許容可能な劣収束指数 $\theta$ を含む臨界線上での $Z(s; t)$ の境界を証明する（提言 9.7）。これは、$Z(s; t)$ の $L$ 関数の積への因子分解および許容可能な指数の定義に基づいている（定義 1.1）。

5. 最適化： 最終的な誤差項は、Luo-Sarnak戦略（定理 1.7）とSoundararajan-Young戦略（定理 1.8）から得られた境界の間で補間し、トレース公式から導出された明示的な公式におけるパラメータを最適化することによって導かれる。

主な貢献と結果

• 主要定理 (定理 1.2)： 本論文は、任意の共形部分群 $\Gamma$、任意の類関数 $f$（$\bar{\Gamma}$ 上）、および任意の許容可能な指数 $\theta > 0$ に対して、ねじれたチェビシェフ和が次を満たすことを証明している：
  $$\Psi_\Gamma(X; f) = \langle f, 1_{\bar{\Gamma}} \rangle_{\bar{\Gamma}} X + O_{f, \theta, \epsilon}(X^{2/3 + \theta/6 + \epsilon}).$$
  劣収束指数 $\theta = 1/6 + \epsilon$（これはPetrowとYoung [PY20, PY23] により既知の許容可能な値である）を仮定すると、無条件の誤差項は $O_{f, \epsilon}(X^{25/36 + \epsilon})$ となる。

• 系 1.3 (共形部分群に対するPGT)： 直接的な帰結として、任意の共形部分群 $\Gamma$ に対して素形跡定理が誤差項 $E_\Gamma(X) = O_\epsilon(X^{25/36 + \epsilon})$ で成立することが示される。これは、Luo-Sarnakの境界が一般化可能であるという[LRS95]の主張を強化するものである。

• 系 1.4 (測地線のディリクレ定理)： 本論文は、算術級数におけるディリクレの定理の測地線版を確立する。任意の $a \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ に対して、トレースが $a \pmod q$ と合同である測地線の和は、トレース写像のファイバーの大きさに漸近的に比例し、同じ誤差項 $O(X^{25/36+\epsilon})$ を持つ。これは、$X$ の側面に関する誤差項に関して[CHK24]や[Dei25]の結果を改善するものである。

• 定理 1.7 および 1.8： これらの中間結果は、スペクトルパラメータに関する指数和 $S(T, X)$ の境界を与える。定理 1.7 はLuo-Sarnakの境界 ($S(T, X) \ll T^{5/4}X^{1/8}$) を一般化し、定理 1.8 はSoundararajan-Youngの境界 ($S(T, X) \ll X^{1/4+\theta/2}T^{1/2}$) を一般化している。

意義と主張
本論文は、任意の共形部分群および任意の類関数に対して、指数 $25/36 + \epsilon$ でチェボタレフ測地線定理が成立することを、初めて無条件に証明したと主張している。これは、Luo, Sarnak, Soundararajan, および Young による、$SL_2(\mathbb{Z})$ および定数関数という特定のケースから、共形指標という一般的な設定へと結果を統一し、拡張するものである。

著者は、本設定がSarnakの元の研究 [Sar80] よりもわずかに一般的であることを明記している（$-I$ を含まない共形部分群を扱うために、重み1のMaass形式の扱いを必要とするため）。その意義は、「分割ケース（split case）」の議論（Bykovskii–Zagier級数およびRankin–Selberg畳み込みを用いるもの）をこのより広い文脈へと適応させることにあり、これにより、広範な双曲多様類に対して期待される誤差項の挙動を裏付けている。本論文は、予想される最適な境界 $X^{1/2+\epsilon}$ に到達したとは主張しておらず、そのような境界は依然として困難であるとしているが、この一般的な設定における現時点での最良の無条件の境界を確立している。