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Influence of Radial Basis Activation Functions on Intelligent Controller for Robotic Manipulators

本文提出了一种结合基于模型的非线性控制与自适应径向基函数神经网络的机器人机械臂智能控制框架，并通过实验结果证明，在保持闭环稳定性的同时，激活函数的特定选择会显著影响瞬态行为、稳态精度以及控制平滑度。

原作者： Kimmo Paldanius, Gabriel Da Silva Lima, Wallace Moreira Bessa

发布于 2026-07-03

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原作者： Kimmo Paldanius, Gabriel Da Silva Lima, Wallace Moreira Bessa

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正在教一只机械臂在纸上画一个完美的圆。你给它一组指令（“理想路径”），但机器人并不完美。它有沉重的关节、粘滞的摩擦力，甚至空气也会对它产生微小的推力。这些都是“扰动”，会让机器人在轨迹上发生晃动。

这篇论文是关于为这只机械臂构建一个“智能助手”的。这个助手是一种人工大脑（神经网络），它能实时学习如何预测这些扰动，并告诉机器人如何反击。

研究人员提出了一个非常具体的问题：这个智能助手内部“脑细胞”的形状重要吗？

在技术术语中，他们在测试不同的“激活函数”（告诉脑细胞如何反应的数学公式）。他们比较了三种形状：

高斯函数 (Gaussian)： 一个平滑的、钟形的曲线（标准选择）。
拉普拉斯函数 (Laplacian)： 一个尖锐的、带顶峰的形状。
反多二次函数 (Inverse Multiquadratic, IMQ)： 一个宽阔、平坦且向外延伸很远的曲线。

以下是他们的发现，通过简单的类比进行了解释：

设定：机器人与“智能助手”

团队使用了一个 Quanser 机械臂（单臂上下运动）的数字孪生模型。他们编写了程序让机器人遵循三条不同的路径：

正弦波： 一条平滑、流动的曲线（就像温柔的海浪）。
方波： 一条位置会瞬间跳变的路径（就像电灯开关被快速开启或关闭）。
三角波： 一条以恒定速度上升，然后以恒定速度下降的路径。

他们保持其他所有因素完全相同（机器人的重量、学习速度、神经元数量）。唯一改变的是“脑细胞”公式的形状。

结果：平滑 vs 尖锐

1. 对于平滑路径（正弦波和三角波）： “宽大的网”胜出
当机器人被要求跟随一条平滑、流动的路径时，反多二次函数 (IMQ) 内核是明显的赢家。

类比： 想象你在平静的湖中捕捉一条鱼。IMQ 内核就像是一个宽大且深的网。因为它具有“全局支撑”（它延伸得很远），它可以同时看到整片水域的运动情况。即使鱼离得有点远，它也能非常准确地预测鱼的位置。
结果： 机器人的误差更小。IMQ 版本比标准方法减少了近 52% 的跟踪误差。对于平滑运动，它是最精确的。

2. 对于剧烈跳变（方波）： “宽大的网”变得过于兴奋
当机器人必须从一个位置瞬间跳到另一个位置时，结果就不同了。

类比： 现在想象鱼瞬间跳出了水面。宽大的网（IMQ）试图同时捕捉到处的一切，但因为它对整个区域都非常敏感，所以它会变得有些“神经质”或过于激进。在自我修正之前，它会稍微冲过头（过冲）目标。
结果： 虽然 IMQ 在一段时间内的总误差仍然有所降低，但它导致机器人比其他方法更容易出现过冲（超过目标点）的情况。虽然“更尖锐”的内核（如拉普拉斯函数）在整体精度上稍逊一筹，但它们的初始反应没那么激进。

核心结论

论文得出结论：选择“脑细胞”的形状不仅仅是一个微小的技术细节，它是一个工程师可以调节的**“设计旋钮”**。

如果你希望你的机器人能在平滑、连续的路径上实现极高的精度（比如绘制一条曲线），请使用反多二次 (IMQ) 形状。它就像一个宽广、整体的视角，能在误差扩大之前就将其捕捉。
如果你需要机器人做出突然、剧烈的停顿而不产生过冲，你可能更倾向于使用另一种反应更局部、更尖锐的形状，而不是试图去预测整个全局图景。

简而言之： 机器人的“大脑”只有在将“思考的形状”与“任务的形状”相匹配时，才能发挥出最佳效果。一个宽阔、平滑的思考者擅长处理平滑的任务，但一个更尖锐的思考者在处理突然跳变时可能更安全。研究人员证明，通过仅仅改变这种数学形状，他们就能在不改变机器人本身的情况下，显著提升机器人的工作表现。

技术摘要：径向基激活函数对机器人机械臂智能控制器的影响

问题陈述
机器人机械臂的轨迹跟踪通常采用基于模型的非线性控制方法，例如反馈线性化。虽然这些方法在标称条件下表现出色，但在面对参数不确定性、摩擦力、未建模动力学以及外部扰动时，其性能会发生退化。尽管已存在通过自适应和学习扩展来增强鲁棒性的方法，但径向基函数（RBF）神经网络扰动估计器中激活函数（核函数）对闭环行为的具体影响仍未得到充分研究。虽然对于有界激活函数通常可以保证李雅普诺夫稳定性，但核函数的形状对瞬态响应、稳态精度和控制平滑度的影响尚未得到系统性的表征。

研究方法
作者提出了一种将反馈线性化与基于 RBF 网络在线神经网络扰动估计器相结合的智能控制框架。

控制结构： 控制器利用模型反馈线性化律，并辅以自适应项 ( $\hat{d}$ ) 来补偿总扰动 ( $d$ )。扰动估计器定义为 $\hat{d}_i = w_i^\top \phi_i(s_i)$ ，其中 $w_i$ 代表自适应权重， $\phi_i$ 代表激活函数。
稳定性分析： 采用基于李雅普诺夫的自适应律来更新神经元权重。为了确保闭环信号的有界性并防止权重漂移，应用了投影算法，确保权重保持在一个凸区域内。这保证了跟踪误差收敛到原点附近的紧致区域。
实验设置： 该框架在单自由度（DOF）Quanser QArm 机器人机械臂的数字孪生环境（Quanser Interactive Labs）中进行了实现。系统在硬件定时采集（500 Hz）下进行了三种不同参考轨迹的测试：正弦波、方波（阶跃型）和三角波（斜坡型）。
对比方案： 为了隔离激活函数的影响，所有其他参数在各测试间均保持不变，包括控制器增益 ( $\lambda_i$ $λ_{i}$ )、学习率 ( $\eta_i$ $η_{i}$ )、投影边界 ( $\mu_i$ $μ_{i}$ ) 以及神经元数量 ( $n_i = 6$ $n_{i} = 6$ )。研究评估了三种特定的核函数：
1. 高斯核 (Gaussian)： $\kappa_G(\rho) = \exp(-\rho^2)$ （局部支撑，基准）。
2. 拉普拉斯核 (Laplacian)： $\kappa_L(\rho) = \exp(-|\rho|)$ （局部支撑）。
3. 反二次多项式核 (IMQ)： $\kappa_{IMQ}(\rho) = 1/\sqrt{1+\rho^2}$ （全局支撑）。

主要结果
通过均方根误差（RMSe）、绝对误差积分（IAE）和控制量（RMSPWM）进行量化的实验结果揭示了基于核函数选择的不同性能权衡：

连续轨迹（正弦波和三角波）： 反二次多项式（IMQ）核表现出优异的性能。与基准（不含神经元补偿的传统反馈线性化）相比，IMQ 核使正弦波的 RMSe 降低了 51.9%，三角波的 RMSe 降低了 49.0%。拉普拉斯核和高斯核也提升了性能，但提升幅度较小。
不连续轨迹（方波参考）： 出现了一个关键的权衡。虽然所有神经元核函数都降低了 IAE（表明整体误差累积更小），但与基准控制器相比，它们引入了瞬态超调并增加了调节时间。具体而言，IMQ 核导致了最高的超调量（6.86%）和调节时间（2.624 s），而基准控制器则保持零超调。
控制量： 在所有智能控制器中，控制量（RMSPWM）的增加微乎其微，相对于基准控制器通常增加不到 3%，尽管跟踪精度得到了显著提升。

意义与主张
本文指出，在基于 RBF 的智能控制器中，激活函数的选择不应仅被视为一个实现细节，而应被视为一个结构设计参数。研究结果表明：

核支撑的重要性： 具有全局支撑的核函数（如 IMQ）能为平滑连续轨迹提供更全面的扰动流形逼近，从而实现更高的稳态精度。
瞬态与稳态的权衡： 对于要求严格单调阶跃响应的应用，局部化核函数（高斯、拉普拉斯）或基准控制器可能更为理想，因为全局核函数在处理不连续指令时可能会引发瞬态剧烈波动。
设计灵活性： 工程师可以通过调整激活函数来优先考虑稳态精度（针对平滑路径倾向于使用 IMQ）或最小化瞬态超调（针对阶跃输入倾向于使用局部化核函数或基准控制器），同时保持由李雅普诺夫自适应律提供的理论稳定性保证。

研究结论认为，虽然所有有界核函数都能保持稳定性，但核函数的选择直接塑造了自适应动力学和实际闭环性能，这为根据特定轨迹需求定制智能控制器提供了一种机制。

设定：机器人与“智能助手”

结果：平滑 vs 尖锐

核心结论

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