Higher order Weyl coefficients for the operator curl

技术摘要：旋度算子的高阶 Weyl 系数

问题陈述
本文研究了作用于连通、定向、闭紧黎曼 3-流形 $(M, g)$ 上实值 1-形式的旋度（curl）算子的谱几何。与 Laplace–Beltrami 算子或 Dirac 算子不同，旋度算子不是椭圆型的，且作用于向量场（1-形式）而非标量或旋量，这带来了显著的技术挑战。主要目标是针对正特征值和负特征值分别建立精细的谱渐近性质。具体而言，作者旨在计算描述当谱参数 $\lambda \to +\infty$ 时特征值渐近分布的前六个全局和局部 Weyl 系数。次要目标是分析该算子的谱不对称性，并确定其相关 eta 函数的解析区域。

方法论
作者采用了以显式构造旋度算子传播子为核心的构造性微局部分析方法。其核心策略包括以下步骤：

1. 传播子构造： 作者定义了随时间变化的传播子 $U(t) = e^{-it \text{curl}}$，并将其分解为正部分 ($U_+$)、负部分 ($U_-$) 和零模部分 ($U_0$)。为了处理旋度算子的非椭圆性，他们引入了一个作用在全希尔伯特空间（平方可积 1-形式空间）上的辅助幺正算子 $V(t) = U_+(t) + U_-(t) + U_0$。
2. 振荡积分： $V(t)$ 被构造为三个振荡积分之和（两个随时间变化的傅里叶积分算子和一个不随时间变化的伪微分算子）模去无穷光滑算子 ($\Psi^{-\infty}$)。
3. 传输方程： 这些振荡积分的符号通过求解由方程 $(-i\partial_t + \text{curl})V = 0$ 导出的传输方程层级来确定。该算法包括：
   • 识别 curl 的主符号及其特征值 ($0, \pm \|\xi\|$)。
   • 为与非零特征值的哈密顿流相关的相位函数 $\phi^{(\pm)}$ 求解。
   • 递归地求解用于振幅符号 $v^{(\pm)}_{-j}$ 的代数方程和常微分方程。
   • 利用扩展 curl 算子（它是椭圆型的）的性质，解决零模分量中过定系统的构建问题。
4. 规范不变性： 作者仔细处理了由于主符号特征向量选择而产生的规范自由度，确保最终的 Weyl 系数是规范不变的几何不变量。
5. 渐近提取： 通过评估经过软化处理的计数函数（谱计数函数与光滑测试函数的卷积），作者提取了 $\lambda$ 的幂次项的渐近展开系数。

主要贡献与结果

• 显式 Weyl 系数： 本文给出了前六个局部 Weyl 系数 $c^{\pm}_k(y)$ 的显式公式，其中 $k = 2, 1, 0, -1, -2, -3$：
  • $c^{\pm}_2(y) = \frac{1}{2\pi^2}$ （领先项，与体积相关）。
  • $c^{\pm}_1(y) = 0$。
  • $c^{\pm}_0(y) = -\frac{1}{12\pi^2} \text{Sc}(y)$ （与标量曲率成正比）。
  • $c^{\pm}_{-1}(y) = 0$。
  • $c^{\pm}_{-2}(y) = -\frac{1}{80\pi^2} \|\mathring{\text{Ric}}(y)\|^2 + C (\Delta \text{Sc})(y)$，其中 $\mathring{\text{Ric}}$ 是无迹 Ricci 张量，$C$ 是一个普适常数。
  • $c^{\pm}_{-3}(y) = \mp \frac{1}{120\pi^2} E_{\alpha\beta\gamma}(y) \mathring{\text{Ric}}_{\alpha\mu}(y) \nabla_\beta \mathring{\text{Ric}}_{\gamma\mu}(y)$。
• 谱不对称性： 作者证明了谱不对称性（正谱分布与负谱分布之间的差异）首先在第六个 Weyl 系数（$k=-3$）层面显现。前五个系数是对称的或为零，这意味着渐近展开的领先项并不会区分正谱和负谱。
• 精细渐近性： 在关于非聚焦点和非周期测地线的几何条件下，计数函数渐近中的余项从 $O(\lambda^2)$ 改进为 $o(\lambda^2)$。
• Eta 函数解析性： 通过分析局部 eta 函数 $\eta(y; s)$ 的留数，作者证明了旋度算子的 eta 函数在复半平面 $\text{Re } s > -2$ 内是全纯的。这改进了此前认为其在 $\text{Re } s > -1/2$ 内全纯的猜想。
• 对称性质： 文中提供了一个关于对称关系 $c^+_k(y) = (-1)^k c^-_k(y)$ 的严格证明，这一性质此前在关于旋度算子的文献中仅被视为民间传闻而缺乏严格证明。

意义

本文声称是第一个建立旋度算度第六个 Weyl 系数的文献，这些系数是表现出谱不对称性的最低阶系数。这一结果具有重要意义，因为它提供了一种利用高能特征值来定量衡量谱不对称性的方法，补充了现有侧重于低特征值研究的不足。系数的显式公式使得计算 eta 不变量及 eta 函数的留数成为可能，这些是指标理论和数学物理中的关键不变量。此外，这项工作弥补了非椭圆算子谱几何领域的空白，提供了一个稳健的算法框架，可推广至作用于形式的其他一阶算子。其结果也改进了 Bär 早期关于计数函数渐近公式的精度，在适当的几何假设下精炼了误差项。