Higher order Weyl coefficients for the operator curl

技術要約：カール演算子における高次のワイル係数

問題設定
本論文は、連結で向き付けられた閉リーマン多様体 $(M, g)$ 上の、実数値1形式に作用するカール（curl）演算子のスペクトル幾何学を扱う。ラプラス・ベルトラーミ演算子やディラック演算子とは異なり、カール演算子は楕円型ではなく、スカラーやスピノルではなくベクトル場（1形式）に作用するため、重大な技術的課題を提示する。主な目的は、正および負の固有値を個別に扱い、精緻なスペクトル漸近展開を確立することである。具体的には、著者らは、スペクトルパラメータ $\lambda \to +\infty$ における固有値の漸近分布を記述する、最初の6つの大域的および局所的なワイル係数を明示的な公式として算出することを目指している。二次的な目標は、演算子のスペクトル非対称性を分析し、関連するエータ関数の正則領域を決定することである。

手法
著者らは、カール演算子のプロパゲーター（伝播関数）の明示的な構成を中心とした、構成的マイクロローカル解析の手法を用いている。核となる戦略は、以下のステップによるものである：

1. プロパゲーターの構成: 著者らは、時間依存プロパゲーター $U(t) = e^{-it \text{curl}}$ を定義し、それを正の部分 ($U_+$)、負の部分 ($U_-$)、およびゼロモードの部分 ($U_0$) に分解する。カール演算子の非楕円性を扱うために、平方可積分な1形式の全ヒルベルト空間上で作用する補助的なユニタリ演算子 $V(t) = U_+(t) + U_-(t) + U_0$ を導入する。
2. 振動積分: 演算子 $V(t)$ は、3つの振動積分（2つの時間依存フーリエ積分演算子と1つの時間非依存擬微分演算子）の和として、無限滑らかな演算子 ($\Psi^{-\infty}$) を除いて構成される。
3. 輸送方程式: これらの振動積分のシンボルは、方程式 $(-i\partial_t + \text{curl})V = 0$ から導かれる一連の輸送方程式を解くことによって決定される。アルゴリズムは以下を含む：
   • カールの主シンボルとその固有値 ($0, \pm \|\xi\|$) の特定。
   • 非ゼロ固有値のハミルトニアン・フローに関連する位相関数 $\phi^{(\pm)}$ の求解。
   • 振幅シンボル $v^{(\pm)}_{-j}$ を再帰的に求めるための代数方程式および常微分方程式の求解。
   • ゼロモード成分に関する過決定系の問題に対処するため、拡張されたカール演算子（これは楕円型である）の性質を利用して構成を正当化する。
4. ゲージ不変性: 主シンボルの固有余ベクトル（eigencovector）の選択に内在するゲージの自由度を慎重に管理し、最終的なワイル係数がゲージ不変な幾何学的不変量であることを保証する。
5. 漸近抽出: 平滑化された計数関数（スペクトル計数関数と滑らかなテスト関数の畳み込み）を評価することにより、$\lambda$ のべき乗における漸近展開の係数を抽出する。

主要な貢献と結果

• 明示的なワイル係数: 本論文は、最初の6つの局所的ワイル係数 $c^{\pm}_k(y)$ （$k = 2, 1, 0, -1, -2, -3$）の明示的な公式を提供している。
  • $c^{\pm}_2(y) = \frac{1}{2\pi^2}$ （体積に関連する主要項）
  • $c^{\pm}_1(y) = 0$
  • $c^{\pm}_0(y) = -\frac{1}{12\pi^2} \text{Sc}(y)$ （スカラー曲率に比例）
  • $c^{\pm}_{-1}(y) = 0$
  • $c^{\pm}_{-2}(y) = -\frac{1}{80\pi^2} \|\mathring{\text{Ric}}(y)\|^2 + C (\Delta \text{Sc})(y)$ （ここで $\mathring{\text{Ric}}$ はトレースレス・リッチテンソル、$C$ は普遍的な定数）
  • $c^{\pm}_{-3}(y) = \mp \frac{1}{120\pi^2} E_{\alpha\beta\gamma}(y) \mathring{\text{Ric}}_{\alpha\mu}(y) \nabla_\beta \mathring{\text{Ric}}_{\gamma\mu}(y)$
• スペクトル非対称性: 著者らは、スペクトル非対称性（正のスペクトル分布と負のスペクトル分布の差）が、第6のワイル係数 ($k=-3$) のレベルで初めて現れることを示している。最初の5つの係数は対称またはゼロであり、これは漸近展開の主要項が正および負のスペクトルを区別しないことを意味する。
• 精緻な漸近性: 非焦点点（non-focality）および測地線の非周期性に関する幾何学的条件の下で、計数関数の漸近展開における剰余項は $O(\lambda^2)$ から $o(\lambda^2)$ へと改善される。
• エータ関数の正則性: 局所エータ関数 $\eta(y; s)$ の留数（residue）を分析することにより、著者らは、カール演算子のエータ関数が複素半平面 $\text{Re } s > -2$ において正則であることを証明している。これは、$\text{Re } s > -1/2$ での正則性を示唆していた従来の予想を精緻化するものである。
• 対称性の性質: $c^+_k(y) = (-1)^k c^-_k(y)$ という対称関係に関する厳密な証明が提供されている。この性質は、カール演算子に関してこれまでの文献では厳密な証明を欠き、伝承（folklore）として扱われてきたものである。

意義
本論文は、スペクトル非対称性を示す最も低い次数の係数である、第6次ワイル係数を確立した最初の研究であると主張している。この結果は、低次の固有値に焦点を当てた既存の研究を補完する、高エネルギー固有値を用いたスペクトル非対称性の定量的尺度を提供するものである。係数の明示的な公式により、エータ不変量およびエータ関数の留数の計算が可能となり、これらは指数理論や数理物理学において重要な不変量となる。さらに、本研究は非楕円型演算子のスペクトル幾何学における空白を埋めるものであり、他の1次形式作用演算子にも適応可能な堅牢なアルゴリズム的枠組みを提供している。また、本結果は、適切な幾何学的仮定の下で、計数関数の誤差項を精緻化することで、Bärによる以前の漸近公式を改善している。