Higher order Weyl coefficients for the operator curl

Resumo Técnico: Coeficientes de Weyl de Ordem Superior para o Operador Rotacional (Curl)

Enunciado do Problema
Este artigo aborda a geometria espectral do operador rotacional (curl) atuando sobre 1-formas reais sobre uma variedade riemanniana fechada, orientada e conexa $(M, g)$. Diferente dos operadores Laplace-Beltrami ou de Dirac, o operador rotacional não é elíptico e atua sobre campos vetoriais (1-formas) em vez de escalares ou espinores, o que apresenta desafios técnicos significativos. O objetivo principal é estabelecer assintóticas espectrais refinadas para os autovalores positivos e negativos do operador rotacional separadamente. Especificamente, os autores visam calcular fórmulas explícitas para os seis primeiros coeficientes de Weyl globais e locais, que descrevem a distribuição assintótica dos autovalores conforme o parâmetro espectral $\lambda \to +\infty$. Um objetivo secundário é analisar a assimetria espectral do operador e determinar o domínio de holomorfia de sua função eta associada.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem de análise microlocal construtiva centrada na construção explícita do propagador para o operador rotacional. A estratégia central envolve as seguintes etapas:

1. Construção do Propagador: Os autores definem o propagador dependente do tempo $U(t) = e^{-it \text{curl}}$ e o decompõem em componentes positiva ($U_+$), negativa ($U_-$) e de modo zero ($U_0$). Para lidar com a não-elipticidade do operador rotacional, eles introduzem um operador unitário auxiliar $V(t) = U_+(t) + U_-(t) + U_0$ atuando no espaço de Hilbert completo de 1-formas quadrados-integráveis.
2. Integrais Oscilatórias: O operador $V(t)$ é construído como uma soma de três integrais oscilatórias (dois operadores de integrais de Fourier dependentes do tempo e um operador pseudodiferencial independente do tempo) módulo operadores infinitamente suavizantes ($\Psi^{-\infty}$).
3. Equações de Transporte: Os símbolos dessas integrais oscilatórias são determinados pela resolução de uma hierarquia de equações de transporte derivadas da equação $(-i\partial_t + \text{curl})V = 0$. O algoritmo envolve:
   • Identificação do símbolo principal do rotacional e seus autovalores ($0, \pm \|\xi\|$).
   • Resolução das funções de fase $\phi^{(\pm)}$ associadas aos fluxos hamiltonianos dos autovalores não nulos.
   • Resolução de equações algébricas e diferenciais ordinárias para os símbolos de amplitude $v^{(\pm)}_{-j}$ recursivamente.
   • Tratamento da natureza superdeterminada do sistema para o componente de modo zero utilizando as propriedades do operador rotacional estendido (que é elíptico) para justificar a construção.
4. Invariância de Gauge: Os autores gerenciam cuidadosamente a liberdade de gauge inerente à escolha de autocovetores do símbolo principal, garantindo que os coeficientes de Weyl finais sejam invariantes geométricos de gauge.
5. Extração Assintótica: Ao avaliar as funções de contagem suavizadas (convoluções das funções de contagem espectral com uma função de teste suave), os autores extraem os coeficientes da expansão assintótica em potências de $\lambda$.

Contribuições Principais e Resultados

• Coeficientes de Weyl Explícitos: O artigo fornece fórmulas explícitas para os seis primeiros coeficientes de Weyl locais, $c^{\pm}_k(y)$, para $k = 2, 1, 0, -1, -2, -3$.
  • $c^{\pm}_2(y) = \frac{1}{2\pi^2}$ (Termo líder, relacionado ao volume).
  • $c^{\pm}_1(y) = 0$.
  • $c^{\pm}_0(y) = -\frac{1}{12\pi^2} \text{Sc}(y)$ (Proporcional à curvatura escalar).
  • $c^{\pm}_{-1}(y) = 0$.
  • $c^{\pm}_{-2}(y) = -\frac{1}{80\pi^2} \|\mathring{\text{Ric}}(y)\|^2 + C (\Delta \text{Sc})(y)$, onde $\mathring{\text{Ric}}$ é o tensor de Ricci sem traço e $C$ é uma constante universal.
  • $c^{\pm}_{-3}(y) = \mp \frac{1}{120\pi^2} E_{\alpha\beta\gamma}(y) \mathring{\text{Ric}}_{\alpha\mu}(y) \nabla_\beta \mathring{\text{Ric}}_{\gamma\mu}(y)$.
• Assimetria Espectral: Os autores demonstram que a assimetria espectral (a diferença entre as distribuições espectrais positiva e negativa) se manifesta pela primeira vez no nível do sexto coeficiente de Weyl ($k=-3$). Os cinco primeiros coeficientes são simétricos ou nulos, o que significa que os termos líderes da expansão assintótica não distinguem entre os espectros positivo e negativo.
• Assintóticas Refinadas: Sob condições geométricas relativas à não-focalidade de pontos e não-periodicidade de geodésicas, o termo de resto nas assintóticas da função de contagem é melhorado de $O(\lambda^2)$ para $o(\lambda^2)$.
• Holomorfia da Função Eta: Ao analisar os resíduos da função eta local $\eta(y; s)$, os autores provam que a função eta do operador rotacional é holomorfa no semiplano complexo $\text{Re } s > -2$. Isso refina conjecturas anteriores que sugeriam holomorfia para $\text{Re } s > -1/2$.
• Propriedades de Simetria: Uma prova rigorosa é fornecida para a relação de simetria $c^+_k(y) = (-1)^k c^-_k(y)$, uma propriedade anteriormente considerada folclore, mas que carecia de uma prova rigorosa na literatura para o operador rotacional.

Significância
O artigo afirma ser o primeiro a estabelecer os coefetos de Weyl de ordem sexta para o operador rotacional, que são os coeficientes de ordem mais baixa que exibem assimetria espectral. Este resultado é significativo porque fornece uma medida quantitativa da assimetria espectral usando autovalores de alta energia, complementando estudos existentes que focam em autovalores baixos. As fórmulas explícitas para os coeficientes permitem o cálculo do invariante eta e dos resíduos da função eta, que são invariantes cruciais na teoria de índices e na física matemática. Além disso, o trabalho preenche uma lacuna na geometria espectral de operadores não elípticos, oferecendo um arcabouço algorítmico robusto que pode ser adaptado para outros operadores de primeira ordem atuando sobre formas. Os resultados também melhoram a precisão das fórmulas assintóticas anteriores de Bär para as funções de contagem, refinando o termo de erro sob propriedades geométricas apropriadas.