Theta correspondence as a C*-correspondence

技术摘要：作为 $C^*$-对应（$C^*$-Correspondence）的 $\theta$ 对应

问题陈述
本文探讨了局部 $\theta$ 对应（LTC）的结构理解，这是在辛群内构成对偶对（dual pair）的两个还原群 $G$ 和 $G'$ 之间的一种基本关系。虽然通过 Howe 对偶（关联平滑或酉表示）建立的 $\theta$ 对应已得到充分验证，但本文旨在通过 $C^*$-代数理论的视角重新诠释这一过程。具体而言，本文旨在将 $\theta$ 提升过程描述为由一个 $C^*$-对应（即配备了代数作用的 Hilbert $C^*$-模）所产生的归纳算子。这种方法的动机在于澄清酉性的保持以及对应关系的结构性质，例如在等秩（equal-rank）情况下的 Morita 等价性。

方法论
作者采用了 $C^*$-代数、Hilbert $C^*$-模和 Rieffel 归纳的框架。其方法论通过以下步骤展开：

1. 基础设置： 本文回顾了必要的背景知识，包括 $C^*$-代数、Hilbert 模以及群 $C^*$-代数 $C^*(G)$ 和 $C^*_r(G)$ 的特定情况。文中确立了内积在第二个变量上是线性的约定。
2. 紧情形作为模型： 分析从其中一个群 $G$ 是紧群的情况开始。在这种设定下，酉对偶 $\hat{G}$ 是离散的，且 $C^*(G)$ 通过 Peter-Weyl 定理分解为矩阵代数的直和。
   • 利用 $G' \times G$ 在 $L^2(U)$ 上的振荡表示 $\omega$。
   • 作者利用振荡表示构造了一个右 Hilbert $C^*(G)$-模 $X$。这可以通过组装同型分量，或者通过利用矩阵系数导出的 $C^*(G)$-值内积来完成 Schwartz 函数空间 $S(U)$ 的完备化来实现。
   • 证明了第二群 $G'$ 在 $S(U)$ 上的作用可以整合为在完备化模 $X$ 上的作用，从而使 $X$ 成为一个 $(C^*(G'), C^*(G))$-对应。
3. 通过 Li 的方法进行推广： 该方法被扩展到 Li 教授的方法论适用的非紧情形（特别是“稳定范围”和“温和/tempered”情形）。
   • 该构造不再使用 $C^*(G)$，而是使用还原群 $C^*$-代数 $C^*_r(G)$（或在稳定范围内的 $C^*(G)$）。
   • 内积是通过涉及振荡表示和 $G$ 的表示 $\pi$ 的积分来定义的。该积分的收敛性和正定性由 Li 关于酉性保持的结果所保证。
   • 由此产生了一个“$\theta$ 双模”（theta bimodule）$\Theta$，它是一个 $(C^*(G'), C^*_r(G))$-对应。
4. 归纳算子： 核心机制是 Rieffel 归纳算子 $\text{Ind}^A_B(X)$。本文证明了通过构造的对应 $X$（或 $\Theta$）归纳 $G$ 的表示 $\pi$，可以恢复 $\theta$ 提升 $\theta(\pi^*)$。
5. 等秩情形： 对于等秩对偶对（例如 $(Sp_{2n}, O_{2n+1})$），作者表明 $\theta$ 双模 $\Theta$ 满足不变性双模（imprimitivity bimodule）的相容条件。这建立了两个还原群 $C^*$-代数的特定理想之间的 Morita 等价性。

主要贡献与结果

• $\theta$ 对应的重新表述： 本文提供了 $\theta$ 对应的严谨 $C^*$-代数形式化描述。本文证明了对于紧群 $G$，$\theta$ 提升的不可约酉表示 $\pi$ 同构于归纳表示 $\text{Ind}^{C^*(G')}_{C^*(G)}(X)(\pi)$，其中 $X$ 是由振荡表示构造的 Hilbert 模（定理 4）。
• 向酉性保持情形的推广： 该方法被推广到了稳定范围和温和情形（定理 5）。通过利用 Li 关于相关积分收敛性和正定性的结果，本文构造了一个定义在 $C^*_r(G)$（或 $C^*(G)$）上的 $\theta$ 双模 $\Theta$，使得归纳算子可以恢复温和表示的 $\theta$ 提升。
• 等秩情形中的 Morita 等价： 本文的一个重要结果是将等秩情形下的 $\theta$ 对应识别为 Morita 等价（定理 6）。$\theta$ 双模 $\Theta$ 被证明是一个不变性双模，从而在由内积切出的理想 $C^*_\theta(G')$ 和 $C^*_\theta(G)$ 之间建立了 Morita 等价。
• Morita 等价的后果：
  • 拓扑同构： Morita 等价意味着进入 $\theta$ 对应的还原对偶中的子集是同胚的。
  • 离散序列的保持： 本文解释了为什么在等秩情形下，离散序列表示会提升为离散序列表示。由于离散序列是还原对偶中的孤立点，且 Morita 等价保持拓扑结构（将闭开集映射为闭开集），因此孤立点的像仍然是孤立的。
  • 特征转移： Morita 等价框架促进了特征的转移。定理 7 给出了一个由 Gan 提出的结果，通过 Schwartz 代数中的矩阵系数将 $\theta$ 提升的特征表示为原表示的特征。

意义与主张
本文声称，将 $\theta$ 对应解释为 $C^*$-对应，阐明了该对应的底层机制，特别是在技术障碍最小化的“紧情形”中。通过将对应关系置于归纳理论的框架下：

• 它提供了一个统一的视角，无需仅仅依赖于提升的具体构造，即可从振荡表示中恢复 $\theta$ 对应。
• 它通过将酉性的保持与 Hilbert 模上内积的正定性联系起来，澄清了酉性的保持问题，而这一条件在 Li 方法所涵盖的情形中是满足的。
• 在等秩情形下，它通过 Morita 等价为保持重要的表示论性质（如离散序列性质和表示的形式维度）提供了结构性的解释。

作者将这项工作定位为连接表示论与非交换几何的近期进展综述（引用 [23, 14]），通过 $C^*$-代数的语言使 $\theta$ 对应的构造更加透明。