Theta correspondence as a C*-correspondence

Resumen Técnico: La Correspondencia de Theta como una $\text{Correspondencia } C^*$

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la comprensión estructural de la correspondencia de theta local (LTC), una relación fundamental entre las representaciones de dos grupos reductivos $G$ y $G'$ que forman una pareja dual dentro de un grupo simpléctico. Si bien la correspondencia de theta está bien establecida a través de la dualidad de Howe (relacionando los duales suaves o unitarios), el artículo busca reinterpretar esta correspondencia a través de la lente de la teoría de los álgebras $C^*$. Específicamente, busca describir el proceso de levantamiento de theta como un functor de inducción que surge de una correspondencia $C^*$ (un módulo de Hilbert $C^*$ equipado con una acción de un álgebra). Este enfoque está particularmente motivado por el deseo de esclarecer la preservación de la unitariedad y las propiedades estructurales de la correspondencia, tales como la equivalencia de Morita en el caso de rango igual.

Metodología
El autor emplea el marco de las álgebras $C^*$, los módulos de Hilbert y la inducción de Rieffel. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Configuración Fundacional: El artículo revisa los antecedentes necesarios, incluyendo las álgebras $C^*$, los módulos de Hilbert y el caso específico de las álgebras de grupo $C^*(G)$ y $C^*_r(G)$. Establece la convención de que los productos internos son lineales en la segunda variable.
2. El Caso Compacto como Modelo: El análisis comienza con el caso en el que uno de los grupos, $G$, es compacto. En este entorno, el dual unitario $\hat{G}$ es discreto, y $C^*(G)$ se descompone en una suma directa de álgebras de matrices (vía el teorema de Peter-Weyl).
   • Se utiliza la representación osciladora $\omega$ de $G' \times G$ sobre $L^2(U)$.
   • El autor construye un módulo de Hilbert $C^*(G)$ a la derecha, $X$, a partir de la representación osciladora. Esto se logra ya sea ensamblando componentes isotípicos o completando el espacio de funciones de Schwartz $S(U)$ con respecto a un producto interno con valores en $C^*(G)$ derivado de coeficientes de matriz.
   • Se demuestra que la acción del segundo grupo $G'$ sobre $S(U)$ se integra para dar una acción sobre el módulo completado $X$, convirtiendo a $X$ en una $(C^*(G'), C^*(G))$-correspondencia.
3. Generalización vía el Método de Li: El enfoque se extiende a casos no compactos donde el método de Jian-Shu Li es aplicable (específicamente en los casos de "rango estable" y "templado").
   • En lugar de $C^*(G)$, la construcción utiliza el álgebra $C^*$ reducida del grupo $C^*_r(G)$ (o $C^*(G)$ en el rango estable).
   • El producto interno se define mediante una integral que involucra la representación osciladora y una representación $\pi$ de $G$. La convergencia y positividad de esta integral están garantizadas por los resultados de Li sobre la preservación de la unitariedad.
   • Esto produce un "bimódulo de theta" $\Theta$, una $(C^*(G'), C^*_r(G))$-correspondencia.
4. Functor de Inducción: El mecanismo central es el functor de inducción de Rieffel $\text{Ind}^A_B(X)$. El artículo demuestra que inducir una representación $\pi$ de $G$ a través de la correspondencia construida $X$ (o $\Theta$) recupera el levantamiento de theta $\theta(\pi^*)$.
5. Caso de Rango Igual: Para parejas duales de rango igual (por ejemplo, $(Sp_{2n}, O_{2n+1})$), el autor muestra que el bimódulo de theta $\Theta$ satisface la condición de compatibilidad para un biomódulo de imprimitivity. Esto establece una equivalencia de Morita entre ideales específicos de las álgebras $C^*$ reducidas de $G$ y $G'$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Reformulación de la Correspondencia de Theta: El artículo proporciona una formulación rigurosa de álgebras $C^*$ de la correspondencia de theta. Demuestra que para un grupo compacto $G$, el levantamiento de theta de una representación unitaria irreducible $\pi$ es isomorfo a la representación inducida $\text{Ind}^{C^*(G')}_{C^*(G)}(X)(\pi)$, donde $X$ es el módulo de Hilbert construido a partir de la representación osciladora (Teorema 4).
• Generalización a Casos de Preservación de Unitariedad: La metodología se generaliza a los casos de rango estable y templado (Teorema 5). Al utilizar los resultados de Li sobre la convergencia y positividad de las integrales relevantes, el artículo construye un bimódulo de theta $\Theta$ sobre $C^*_r(G)$ (o $C^*(G)$) tal que el functor de inducción recupera el levantamiento de theta para representaciones templadas.
• Equivalencia de Morita en Rango Igual: Un resultado significativo es la identificación de la correspondencia de theta en el caso de rango igual como una equivalencia de Morita (Teorema 6). Se demuestra que el bimódulo de theta $\Theta$ es un biomódulo de imprimitivity, estableciendo una equivalencia de Morita entre los ideales $C^*_\theta(G')$ y $C^*_\theta(G)$ delimitados por los productos internos.
• Consecuencias de la Equivalencia de Morita:
  • Isomorfismo Topológico: La equivalencia de Morita implica que los subconjuntos de los duales reducidos que entran en la correspondencia de theta son homeomorfos.
  • Preservación de la Serie Discreta: El artículo explica por qué las representaciones de la serie discreta se elevan a representaciones de la serie discreta en el caso de rango igual. Dado que las series discretas son puntos aislados en el dual reducido, y la equivalencia de Morita preserva la topología del espectro (mapeando conjuntos cerrados y abiertos a conjuntos cerrados y abiertos), la imagen de un punto aislado permanece aislada.
  • Transferencia de Caracteres: El marco de la equivalencia de Morita facilita la transferencia de caracteres. El Teorema 7 presenta un resultado (originalmente de Gan) que expresa el carácter de un levantamiento de theta en términos del carácter de la representación original a través de los coeficientes de matriz en las álgebras de Schwartz.

Significancia y Pretensiones
El artículo sostiene que interpretar la correspondencia de theta como una correspondencia $C^*$ esclarece los mecanismos subyacentes de la correspondencia, particularmente en el "caso compacto" donde las obstrucciones técnicas se minimizan. Al enmarcar la correspondencia a través de la teoría de la inducción:

• Ofrece una perspectiva unificada que recupera la correspondencia de theta a partir de la representación osciladora sin depender únicamente de la construcción explícita del levantamiento.
• Esclarece la preservación de la unitariedad al vincularla con la positividad del producto interno en el módulo de Hilbert, una condición que se cumple en los casos cubiertos por el método de Li.
• En el caso de rango igual, proporciona una explicación estructural (vía equivalencia de Morita) para la preservación de propiedades importantes de la teoría de la representación, tales como la naturaleza de la serie discreta y las dimensiones formales de las representaciones.

El autor posiciona este trabajo como una revisión de desarrollos recientes (citando [23, 14]) que conectan la teoría de la representación y la geometría no conmutativa, haciendo que las construcciones de la correspondencia de theta sean más transparentes a través del lenguaje de las álgebras $C^*$.