Radial symmetry of positive solutions of an integral system associated with the reversed Stein-Weiss inequality

技术摘要：反向 Stein-Weiss 不等式相关积分系统的正解的径向对称性

问题陈述
本文研究了作为反向 Stein-Weiss 不等式极值函数欧拉-拉格朗日系统的特定积分方程的正解的径向对称性和单调性。该系统由下式给出：
$$\begin{cases} u(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|x|^\alpha v^{-p_2}(y) |y|^\beta}{|x-y|^\Lambda} dy, \\ v(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|x|^\beta u^{-p_1}(y) |y|^\alpha}{|x-y|^\Lambda} dy, \end{cases}$$
其中 $n \ge 1$，$\Lambda > 0$，$p_1, p_2 > 1$，且权重满足涉及 $\alpha, \beta$ 的特定约束。作者考虑在 $\mathbb{R}^n$ 中几乎处处正且属于 $L^\infty_{loc}(\mathbb{R}^n) \times L^\infty_{loc}(\mathbb{R}^n)$ 的解 $(u, v)$。

该问题扩展了以往关于 Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) 和 Stein-Weiss 不等式的工作。虽然 Chen, Li, 和 Ou 使用移动平面法建立了标准 HLS 和 Stein-Weiss 系统的径向对称性，且 Dou, Zhu, 和 Liu 处理了反向 HLS 不等式，但对于反向 Stein-Weiss 系统（其积分项中包含双重权重和负指数）的径向对称性仍是一个开放性问题。

方法论
作者采用了积分形式的移动平面法，这是一种最初由 Chen, Li, 和 Ou 开发，随后由 Dou, Guo, 和 Zhu 针对具有负指数的系统进行改进的技术。证明过程通过以下技术步骤进行：

1. 辅助函数与正则性： 为了处理双重权重（$|x|^\alpha, |y|^\beta$）以及原点处的奇异性，作者引入了辅助函数：
   $$t(x) = |x|^{-\alpha}u(x), \quad w(x) = |x|^{-\alpha/p_1}u(x), \quad s(x) = |x|^{-\beta}v(x).$$
   他们首先确定了解 $(u, v)$ 在无穷远和原点附近的渐近行为（引理 2.1）。至关重要的是，他们证明了辅助函数 $t$ 和 $s$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中是连续的，在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 中是可微的，并导出了它们梯度的精确估计（引理 2.2 和 2.3）。这些估计对于在移动平面过程中管理原点附近的奇异性是必要的。

2. 积分表示： 作者推导了 $t(x) - t_\lambda(x)$ 和 $s(x) - s_\lambda(x)$ 的积分表示，其中 $x_\lambda$ 表示 $x$ 关于平面 $T_\lambda = \{x_1 = \lambda\}$ 的反射（引理 2.4）。这里的核函数为 $G(x, y) = |x_\lambda - y|^\Lambda - |x - y|^\Lambda$。

3. 移动平面论证：

   • 起始点： 对于足够小的负 $\lambda$，作者证明了在区域 $\Sigma_\lambda = \{x \in \mathbb{R}^n \mid x_1 \le \lambda\}$ 中，$t(x) \ge t_\lambda(x)$ 且 $s(x) \ge s_\lambda(x)$ 成立。这依赖于解在无穷远处的渐近行为以及辅助函数的特定增长率。
   • 移动平面： 只要不等式成立，平面 $T_\lambda$ 就向右移动。作者定义了 $\lambda_0 = \sup \{ \mu < 0 \mid \text{对于所有 } \lambda < \mu \text{ 不等式均成立} \}$。
   • 矛盾： 他们假设 $\lambda_0 < 0$ 并导出矛盾。通过分析积分表示并利用核函数 $G(x, y)$ 的严格正性和幂函数的单调性，他们表明如果不等式在 $\lambda_0$ 之前一直成立，那么除非解本身已经是对称的，否则不等式在 $\lambda_0$ 之后的某个邻域内必须严格成立。证明过程中通过拆分积分区域并使用已建立的梯度估计，仔细处理了原点处的奇异性。
   • 对称性结论： 矛盾意味着 $\lambda_0 = 0$。由于 $x_1$ 轴的方向是任意的，因此解 $w$ 和 $s$（以及随之而来的 $u$ 和 $v$）关于原点具有径向对称性。

主要贡献与结果
主要结果是定理 1.1，它指出在 $n \ge 1, \Lambda > 0, \min\{p_1, p_2\} > 1$ 以及权重 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足特定界限的条件下，方程 (1.12) 的任何正解对 $(u, v)$ 都是关于原点径向对称且单调递增的。

本文的具体技术贡献包括：

• 将移动平面法扩展到具有双重权重和负指数（$v^{-p_2}, u^{-p_1}$）的反向 Stein-Weiss 系统。
• 引入并利用特定的辅助函数（$t, w, s$）来将权重从积分核中解耦，从而在缺乏直接的反向 Stein-Weiss 不等式的情况下，能够应用移动平面法。
• 为辅助函数的梯度在原点附近和无穷远处提供了严格的估计，以确保移动平面论证所需的积分估计的有效性。

意义与主张
本文声称解决了反向 Stein-Weiss 不等式极值函数的径向对称性问题，这一问题是由 Chen, Liu, Lu, 和 Tao (2018) 的工作所激发的，他们建立了该不等式但并未对极值的对称性进行分类。

作者将他们的工作定位为研究共形方程和积分系统的一个自然进展。他们指出，虽然 Stein-Weiss 不等式并不像在标准 Stein-Weiss 系统中那样直接适用于其系统（如 Jin 和 Li, 2006 所述），但 Dou, Guo, 和 Zhu 针对反向 HLS 不等式开发的方案可以被成功改编。论文强调，双重权重的特性带来了困难，需要通过引入辅助函数来有效地处理原点处的奇异性。

该工作并未提出新的应用或实验设置，而是为理解源于数学物理和最佳常数理论中的非线性积分方程解的结构的理论做出了贡献。