Radial symmetry of positive solutions of an integral system associated with the reversed Stein-Weiss inequality

Résumé technique : Symétrie radiale des solutions positives d'un système intégral associé à l'inégalité de Stein-Weiss inversée

Énoncé du problème
Cet article étudie la symétrie radiale et la monotonie des solutions positives d'un système spécifique d'équations intégrales, issu du système d'Euler-Lagrange pour les fonctions extrémales de l'inégalité de Stein-Weiss inversée. Le système est donné par :
$$\begin{cases} u(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|x|^\alpha v^{-p_2}(y) |y|^\beta}{|x-y|^\Lambda} dy, \\ v(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|x|^\beta u^{-p_1}(y) |y|^\alpha}{|x-y|^\Lambda} dy, \end{cases}$$
où $n \ge 1$, $\Lambda > 0$, $p_1, p_2 > 1$, et les poids respectent des contraintes spécifiques impliquant $\alpha$ et $\beta$. Les auteurs considèrent des solutions $(u, v)$ qui sont positives presque partout dans $\mathbb{R}^n$ et appartiennent à $L^\infty_{loc}(\mathbb{R}^n) \times L^\infty_{loc}(\mathbb{R}^n)$.

Le problème étend les travaux précédents sur les inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) et de Stein-Weiss. Alors que Chen, Li et Ou ont établi la symétrie radiale pour les systèmes HLS et Stein-Weiss standards en utilisant la méthode des plans mobiles, et que Dou, Zhu et Liu se sont adressés à l'inégalité HLS inversée, la symétrie radiale pour le système de Stein-Weiss inversé (qui implique des doubles poids et des exposants négatifs dans le noyau) est restée une question ouverte.

Méthodologie
Les auteurs emploient la méthode des plans mobiles sous forme intégrale, une technique initialement développée par Chen, Li et Ou, puis affinée par Dou, Guo et Zhu pour les systèmes à exposants négatifs. La preuve procède à travers les étapes techniques suivantes :

1. Fonctions auxiliaires et régularité : Pour gérer les doubles poids ($|x|^\alpha, |y|^\beta$) et la singularité à l'origine, les auteurs introduisent des fonctions auxiliaires :
   $$t(x) = |x|^{-\alpha}u(x), \quad w(x) = |x|^{-\alpha/p_1}u(x), \quad s(x) = |x|^{-\beta}v(x).$$
   Ils établissent d'abord le comportement asymptotique des solutions $(u, v)$ à l'infini et au voisinage de l'origine (Lemme 2.1). Crucialement, ils prouvent que les fonctions auxiliaires $t$ et $s$ sont continues dans $\mathbb{R}^n$ et dérivables dans $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$, et dérivent des estimations précises pour leurs gradients (Lemmes 2.2 et 2.3). Ces estimations sont nécessaires pour gérer les singularités près de l'origine lors du processus de plan mobile.

2. Représentation intégrale : Les auteurs dérivent des représentations intégrales pour les différences $t(x) - t_\lambda(x)$ et $s(x) - s_\lambda(x)$, où $x_\lambda$ désigne la réflexion de $x$ par rapport au plan $T_\lambda = \{x_1 = \lambda\}$. Ces représentations impliquent le noyau $G(x, y) = |x_\lambda - y|^\Lambda - |x - y|^\Lambda$ (Lemme 2.4).

3. L'argument du plan mobile :

   • Point de départ : Pour un $\lambda$ suffisamment négatif, les auteurs montrent que $t(x) \ge t_\lambda(x)$ et $s(x) \ge s_\lambda(x)$ sont vérifiés dans la région $\Sigma_\lambda = \{x \in \mathbb{R}^n \mid x_1 \le \lambda\}$. Cela repose sur le comportement asymptotique des solutions à l'infini et sur les taux de croissance spécifiques des fonctions auxiliaires.
   • Déplacement du plan : Le plan $T_\lambda$ est déplacé vers la droite tant que les inégalités sont vérifiées. Les auteurs définissent $\lambda_0 = \sup \{ \mu < 0 \mid \text{les inégalités sont vérifiées pour tout } \lambda < \mu \}$.
   • Contradiction : Ils supposent $\lambda_0 < 0$ et déduisent une contradiction. En analysant les représentations intégrales et en utilisant la positivité stricte du noyau $G(x, y)$ ainsi que la monotonie des fonctions de puissance impliquées, ils montrent que si les inégalités sont vérifiées jusqu'à $\lambda_0$, elles doivent être strictement vérifiées dans un voisinage au-delà de $\lambda_0$, à moins que la solution ne soit déjà symétrique. La preuve traite soigneusement la singularité à l'origine en divisant les domaines d'intégration et en utilisant les estimations de gradient établies.
   • Conclusion de la symétrie : La contradiction implique $\lambda_0 = 0$. Puisque la direction de l'axe $x_1$ est arbitraire, les solutions $w$ et $s$ (et par conséquent $u$ et $v$) sont radialement symétriques autour de l'origine.

Contributions clés et résultats
Le résultat principal est le Théorème 1.1, qui stipule que sous les conditions $n \ge 1$, $\Lambda > 0$, $\min\{p_1, p_2\} > 1$, et des bornes spécifiques sur les poids $\alpha$ et $\beta$, toute paire de solutions positives $(u, v)$ du système (1.12) est radialement symétrique et monotone croissante autour de l'origine.

Les contributions techniques spécifiques du papier incluent :

• L'extension de la méthode des plans mobiles au système de Stein-Weiss inversé, qui présente des doubles poids et des exposants négatifs ($v^{-p_2}, u^{-p_1}$).
• L'introduction et l'utilisation de fonctions auxiliaires spécifiques ($t, w, s$) pour découpler les poids des noyaux intégraux, permettant l'application de la méthode des plans mobiles malgré l'absence d'une inégalité de Stein-Weiss inversée directe pour le système.
• La fourniture d'estimations rigoureuses pour les gradients des fonctions auxiliaires près de l'origine et à l'infini afin de garantir la validité des estimations intégrales requises pour l'argument du plan mobile.

Signification et affirmations
L'article affirme résoudre la question de la symétrie radiale des fonctions extrémales de l'inégalité de Stein-Weiss inversée, un problème motivé par les travaux de Chen, Liu, Lu et Tao (2018) qui ont établi l'inégalité mais n'ont pas classifié la symétrie de ses extrémales.

Les auteurs positionnent leur travail comme une progression naturelle dans l'étude des équations conformes et des systèmes intégraux. Ils notent que bien que l'inégalité de Stein-Weiss ne s'applique pas directement à leur système de la même manière que pour le système de Stein-Weiss standard (comme dans Jin et Li, 2006), le schéma développé par Dou, Guo et Zhu pour l'inégalité HLS inversée peut être adapté avec succès. Le papier souligne que la nature à double poids du système présente une difficulté qui nécessite l'introduction des fonctions auxiliaires pour gérer efficacement la singularité à l'origine.

Le travail ne propose pas de nouvelles applications ou configurations expérimentales, mais contribue à la compréhension théorique de la structure des solutions d'équations intégrales non linéaires issues de la physique mathématique et de la théorie des meilleures constantes dans les inégalités fonctionnelles.